Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
§1.2.Działanianazbiorach
29
dotyczytablica1.1,sąpodzbioramipewnejustalonejprzestrzeni
U.Zewzględunaprawałącznościdziałań,możemyzapisywać
zbiorytakie,jakAUBUCiAΠBΠCbezużycianawiasówinie
będzietoprowadziłodonieporozumień.
Poprawnośćrównościpodanychwtablicy1.1możnaspraw-
dzićdwomasposobami.Możnanarysowaćodpowiedniediagramy
Venna,zakreskowaćwłaściwezbioryizobaczyć,żesąonerówne.
Możnateżwykazać,żezbiorySiTsąrówne,dowodząc,żeS⊆T
iT⊆S;prawdziwościtychinkluzjidowodzimypokazując,że
x∈Simplikujex∈Torazx∈Timplikujex∈S.Pokażemy
przykładyobutychsposobówargumentacji,pozostawiającwięk-
szośćdowodówzainteresowanemuCzytelnikowi.
PRZYKŁAD3
DiagramyVennanarysunku1.2ilustrująprawoDeMorgana
9a.Podamyterazdowód,wktórympokażemynajpierw,że(AU
B)c⊆AcΠBc,anastępnie,żeAcΠBc⊆(AUB)c.
Abypokazać,że(AUB)c⊆AcΠBc,bierzemyelement
x∈(AUB)c.Wtedyx/∈AUB.Wszczególnościx/∈A,awięc
musimymiećx∈Ac.Podobnie,x/∈B,awięcx∈Bc.Za-
temx∈AcΠBc.Pokazaliśmywięc,żex∈(AUB)cimplikuje
x∈AcΠBc;zatem(AUB)c⊆AcΠBc.
Abydowieśćodwrotnejinkluzji,AcΠBc⊆(AUB)c,bierzemy
x∈AcΠBc.Wtedyx∈Ac,awięcx/∈A.Równieżx∈Bc,więc
x/∈B.Ponieważx/∈Aix/∈B,więcx/∈AUB,czylix∈(AUB)c.
ZatemAcΠBc⊆(AUB)c.
PRZYKŁAD4
DiagramyVennanarysunku1.3wykazująprawdziwośćprawa
rozdzielności3bztablicy1.1.IlustracjązbioruAΠ(BUC)jest
zakreskowanywobiestronyobszarnadiagramiepolewejstronie;
poprawejstroniezbiór(AΠB)U(AΠC)jestreprezentowany
przezobszarzakreskowanywjednąstronęlubwobiestrony.
Rysunek1.3
