Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
§1.2.Działanianazbiorach
31
Tablica1.1podajeniektórepodstawowezależnościteoriimno-
gości.Istniejejeszczewieleinnychzależności.Możnajeudowod-
nićjednąztrzechmetod:(1)metodądiagramówVenna,(2)me-
todąrozumowańwykorzystującychelementyzbiorów,takichjak
wprzykładach3i4lub(3)metodąkorzystaniazprawpodanych
wtablicy1.1.Czasamidowodybędąłączyłymetody(2)i(3).
PRZYKŁAD5
Podamytrzydowodyzależności
(AUB)ΠAc⊆B.
Dowód1.Popatrzmynarysunek1.5.Obszarodpowiadający
zbiorowi(AUB)ΠAcjestzakreskowanywobiestronyioczywiście
jestonzawartywobszarzeoznaczającymzbiórB.
Rysunek1.5
Dowód2.Pokażemy,żex∈(AUB)ΠAcimplikujex∈B.
Weźmyelementxzbioru(AUB)ΠAc.Wtedyx∈Ac,awięc
x/∈A.PonieważxnależytakżedozbioruAUB,zatemnależy
doAlubdoB,awięcstądwynika,żemusinależećdoB.
Dowód3.Korzystajączprawalgebryzbiorówpodanych
wtablicy1.1,otrzymujemy
(AUB)ΠAc=AcΠ(AUB)
przemienność1b
=(AcΠA)U(AcΠB)rozdzielność3b
=(AΠAc)U(AcΠB)przemienność1b
=ØU(AcΠB)
7b
=(AcΠB)UØ
przemienność1a
=AcΠB.
prawoidentyczności5a
Tarównośćzgadzasięoczywiściezdiagramempolewejstronie
rysunku1.5.Terazjestjasne,żeAcΠB⊆B,gdyżjeślix∈AcΠB,
toxmusibyćelementemB.
