Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
62
1.Zbiory,ciągiifunkcje
Wpoprzednimprzykładziesymbolem
k∈NΣkoznaczyliśmy
sumęnieskończonegociąguzbiorów.Słowojestelementemtego
zbioru,jeślinależydojednegozezbiorówΣk.ZbioryΣksąroz-
łączne,aleogólniemożemyrozważaćsumyzbiorówprzecinają-
cychsię.Jeśli(Ak)k∈Njestciągiemzbiorów,definiujemy
U
Ak={x:x∈AkdlaconajmniejjednegokzezbioruN}.
k∈N
Tadefinicjaoczywiściemarównieżsens,jeślitezbiorysąokre-
ślonedlakzezbioruPlubzjakiegośinnegozbioru.Podobnie
definiujemy
Π
Ak={x:x∈Akdlawszystkichk∈N}.
k∈N
Oznaczenie
odgrywatuszczególnąrolę.Napis
∞
k=oAkmapodobnąinterpretację,ztymtylko,że∞
∞
k=ooznacza,żekprzyjmuje
wartości0,1,2,...,aleknieprzyjmujewartości∞.Zatem
∞
U
Ak={x:x∈Akdlaconajmniejjednej
k=o
liczbycałkowitejk≥0},
podczasgdy
∞
Π
Ak={x:x∈Akdlawszystkichliczbcałkowitychk≥1}.
k=1
Wprzykładzie5mogliśmyrówniedobrzenapisaćΣ∗=
∞
k=oΣk.
Niektóreciąginiesąnieskończone.Ciągiemskończonym
jestciągobiektów,któremożnawypisaćużywającjakoin-
deksówelementówskończonegopodzbioruzbioruZpostaci
{m,m+1,...,n}.Częstombędzierówne0lub1.Takiciąg
(am,am+1,...,an)jestfunkcjąodziedzinie{m,m+1,...,n},
takjaknieskończonyciąg(am,am+1,...)madziedzinę{m,
m+1,...}.
PRZYKŁAD6
(a)Napoczątkutegoparagrafuwspomnieliśmyosu-
machuogólnionych,takichjakΣ
n
j=maj.Wartości,które
mająbyćdodanedosiebie,sąwyrazamiskończonegociągu
(am,am+1,...,an).
(b)Cyfrywrozwinięciudziesiętnymliczbycałkowitejtwo-
rząciągskończony.Ciągiemcyfrliczby8832jest(8,8,3,2),jeśli
wypisujemycyfryodnajbardziejznaczącejlub(2,3,8,8),jeśli
wypisujemycyfryodnajmniejznaczącej.
