Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
§2.1.Nieformalnewprowadzenie
83
występujewięcejniżskończonaliczbazdań,czyzawierających
sformułowaniatakiejak„dlakażdego”lub„dlapewnego”.
Wtakzwanymrachunkupredykatówwystępujądwawygodne
sformułowania,którepozwalająnaprzedstawieniewsposóbsym-
bolicznytakichzdańjakwprzykładzie9.Omówimyznaczenielo-
gicznetychsformułowań,nazywanychkwantyfikatorami,bar-
dziejszczegółowowrozdziale13;naraziepotraktujmyjejako
nieformalneskróty.
Przypuśćmy,że{p(x):x∈U}jestrodzinązdań,gdzieUjest
zbiorem,byćmożenieskończonym.Innymisłowy,pjestfunk-
cjązdaniowąokreślonąnazbiorzeU.Kwantyfikatorogólny∀
(odwróconaliteraA)jestużywanydotworzeniazdańzłożonych
postaci
∀xp(x),
któreczytamy„dlakażdegox,p(x)”.Możnajeczytaćrównież
„dlawszystkich”,„dladowolnego”.Jednakżenależyuważaćna
sformułowanie„dladowolnego”,ponieważmożeonobyćmylnie
interpretowanejako„dlapewnego”.Wyrażenie„statekprzybija
dodowolnegoportuweFrancji”nieoznacza,że„statekprzybija
dokażdegoportuweFrancji”.Zdaniezłożone∀xp(x)maprzy-
pisanąwartośćlogicznąwnastępującysposób:
zdanie∀xp(x)jestprawdziwe,jeślizdaniep(x)jestprawdziwe
dlakażdegoxzezbioruU;
wprzeciwnymprzypadkuzdanie∀xp(x)jestfałszywe.
Kwantyfikatorszczegółowy(egzystencjalny)∃(odwró-
conaliteraE)jestużywanydoformułowaniazdańpostaci
∃xp(x),
któreczytamy„istniejextaki,żep(x)”lub„dlapewnegox,
p(x)”.Zdaniezłożone∃xp(x)manastępującewartościlogiczne:
zdanie∃xp(x)jestprawdziwe,jeślizdaniep(x)jestprawdziwe
dlaconajmniejjednegoxzezbioruU;
zdanie∃xp(x)jestfałszywe,jeślizdaniep(x)jestfałszywedla
każdegoxzezbioruU.
PRZYKŁAD10
(a)DlakażdegonzezbioruN,niechp(n)oznaczazdanie
„n2=n”.Wtedy∀np(n)jestzdaniemfałszywym,ponieważna
przykładzdaniep(3),tzn.32=3jestfałszywe.Zdrugiejstrony,
zdanie∃np(n)jestprawdziwe,ponieważconajmniejjednozdanie
p(n)jestprawdziwe;taknaprawdę,dokładniedwaztychzdań
sąprawdziwe,mianowiciep(0)ip(1).
