Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
Dwustanowadynamikacenakcjizestanempochłaniającym
21
półosiąliczbrzeczywistych.Rozkładtenmożebyćwyznaczonynapodstawie
danychhistorycznychlubrozważańocharakterzeeksperckim.Związekrozkła-
duzmiennejTzpodejściemodstronyprocesówMarkowabędzieprzedyskuto-
wanywdalszejczęścipracy.
Jednązważniejszychcharakterystykcenakcjijestichwartośćoczekiwana
(punktowaprognozanieobciążona).Zrównania(4)wynika,żewarunkowawar-
tośćoczekiwanamapostać:
dE
(
S
t
/
Τ
)
=
E
[
(
μ
1
+
(
μ
2
−
μ
1
)
ξ
t
)
S
t
dt
/
Τ
]
+
E
[
(
σ
1
+
(
σ
2
−
σ
1
)
ξ
t
)
S
t
dW
t
/
Τ
]
(5)
Ponieważwszystkierozważanewpracystochastycznerównaniaróżnicz-
kowerozumianesąwsensieIto[3],ostatniawartośćoczekiwanajestrówna
zeru.
Stądznajdujemy:
dE
(
S
t
/
Τ
)
=
(
μ
1
+
(
μ
2
−
μ
1
)(
O
t
−
Τ
)
)(
E
S
t
/
Τ
)
dt
gdzie:
T>0,
O
()
t
=
⎧
⎨
⎩
1
0
dla
dla
t
t
>
≤
0
0
−funkcjaHeaviside’a.
(6)
Zrelacji(6)otrzymujemyrównanieróżniczkowe,jakiespełniawarunkowa
wartośćoczekiwanaE(St/T):
dE
(
S
dt
t
/
Τ
)()
t
=
(
μ
1
+
(
μ
2
−
μ
1
)(
O
t
−
Τ
)
)
E
(
S
t
/
Τ
)()
t
znaturalnymwarunkiempoczątkowym
E
(
S
t
/
Τ
)()
0
=
S
0
.
Rozwiązaniemrównania(7)jest:
E
(
S
t
/
Τ
)()
t
=
S
0
e
μ
1
t
+
(
μ
2
−
μ
1
)(
t
−
Τ
)(
O
t
−
Τ
)
Wykorzystującznanąformułę
EX
=
E
[
E
(
X
/
Y
)
]
znajdujemy:
(7)
(8)
ES
t
=
E
[
E
(
S
t
/
Τ
)
]
()
t
=
E
[
S
0
e
μ
1
t
+
(
μ
2
−
μ
1
)(
t
−
Τ
)(
O
t
−
Τ
)
]
=
S
0
e
μ
1
t
Ee
(
μ
2
−
μ
1
)(
t
−
Τ
)(
O
t
−
Τ
)
(9)
