Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
22
TadeuszCzernik,DanielIskra
OznaczającgęstośćprawdopodobieństwazmiennejTprzezfT(
τ
)możemy
napisać:
ES
t
=
S
0
e
μ
1
t
⎡
⎢
⎣
∫
0
t
e
(
μ
2
−
μ
1
)(
t
−
τ
)
f
T
()
τ
d
τ
+
P
(
Τ
>
t
)
⎤
⎥
⎦
=
=
S
0
e
μ
1
t
⎡
⎢
⎣
∫
0
t
e
(
μ
2
−
μ
1
)(
t
−
τ
)
f
T
()
τ
d
τ
+
1
−
F
Τ
()
t
⎤
⎥
⎦
(10)
gdzieFT(t)jestdystrybuantązmiennejlosowejT.
Wceluobliczeniawariancjicenyakcji(odchyleniestandardowemożebyć
traktowanejakośrednibłądprognozyex-ante;wpracyzałożono,żeparametry
stochastycznychrównańróżniczkowychsąznane)wyznaczmyrównanieewolu-
cjikwadratuceny(tw.Ito[3]):
dS
t
2
=
2
⎛
⎜
⎝
μ
t
+
1
2
σ
t
2
⎞
⎟
⎠
S
t
2
dt
+
2
σ
t
S
t
2
dW
t
gdzie:
μ
σ
t=
t=
μ
σ
1+(
1+(
μ
σ
2−
2−
μ
σ
1)
1)
ξ
ξ
t,
t.
Wartozauważyć,żezwłasności
ξ
t
=
ξ
t
2
wynika:
σ
t
2
=
σ
1
2
+
(
σ
2
2
−
σ
1
2
)
ξ
t
Postępującanalogicznie,jakwyżejznajdujemy:
dE
(
S
t
dt
2
/
Τ
)
()
t
=
2
⎧
⎨
⎩
μ
1
+
1
2
σ
1
2
+
+
O
(
t
−
Τ
)
⎡
⎢
⎣
μ
2
−
μ
1
+
1
2
(
σ
2
2
−
σ
1
2
)(
⎤
⎥
⎦
⎫
⎬
⎭
E
S
t
2
/
Τ
)
()
t
zwarunkiempoczątkowym
E
(
S
t
2
/
Τ
)
()
0
=
S
0
2
.
Rozwiązanierównania(13)mapostać:
E
(
S
t
2/
Τ
)
()
t
=
S
0
2
e
2
⎛
⎜
⎝
μ
1
+
1
2
σ
1
2
⎞
⎟
⎠
t
+
2
⎡
⎢
⎣
μ
2
−
μ
1
+
1
2
(
σ
2
2
−
σ
1
2
)
⎤
⎥
⎦
(
t
−
Τ
)(
O
t
−
Τ
)
(11)
(12)
(13)
(14)
