Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
16
1.Elementyformalnejteoriigrup
1.5.Rządelementu,grupycykliczne
Jeżelirozpatrzymydowolnyelement
g
i
E
G
(Gjestgrupąskończoną)
ikolejnepotęgitegoelementu
g(
i
r
r±
1,2,...
),tociągtenzawieraele-
mentypowtarzalne.Niech,naprzykład,
g
i
k
2
±
g
i
k
1
,przyczym
k
2
>.
k
1
Pomnóżmytęrelacjęprzez
g-,otrzymamy
i
k
1
g
i
k
2
-
k
1
±.Grupyspełniają-
e
cetakizwiązeknosząnazwęgrupcyklicznych.
Jeżeliistniejeliczbanaturalnasspełniającazałożenie
g
i
s
±,tonaj-
e
mniejszaspośródtakichliczbnosinazwęrzęduelementugi,azbiórele-
mentów
gg
i
i
2
g
i
3
ł
,s
g
i
±
e
nosinazwęokresulubcykluelementu.
,
,
,
Oczywistejest,żecykljestpodgrupągrupyG,wszczególnościcyklmo-
żepokrywaćsięzcałągrupąG.
Grupycyklicznesągrupamiabelowymi,bosązbudowanezpotęg
jednegoelementu,amnożeniejestwnichprzemienne.Elementemod-
wrotnymdoelementugijestelement
g-.Naprzykład,grupaobrotów
i
s
1
trójkątajestgrupącyklicznąrzędutrzeciego.
1.6.Elementysprzężoneiklasy
Wybierzemyelement
gG
E.Elementfnazywasięsprzężonym
dog,jeżeli
3
g
i
:
ggg
i
i
-
1
±.Krótkosprzężenieoznaczasięjako:
f
f
~.Donajważniejszychwłaściwościelementówsprzężonychzali-
g
czamy:
1.Każdyelementjestsprzężonysamzsobąg
~.Dowódjestoczywi-
g
sty,wystarczywziąćege
±,skądg
g
~.
g
2.Jeżelig
~,toh
h
~.Rzeczywiście,zgh
g
~
wynika,żew
Gg
3
i
:
g
±
ghg-
i
i
1
.Mnożączlewejstronyprzez
g,azprawejprzezgi,
i
-
1
otrzymamy
ggg
i
-
1
i
±.
h
3.Jeżelig
~,ah
h
~,tog
f
~.Czegomożemydowieść,gdyż:
f
gghg-
±
i
i
1
,
h
±
gfg-
j
j
1
,podstawiająch,wyrażoneprzezf,otrzy-
mamy
g
±
ggfgg
i
j
-
j
1
i
-
1
±
ggfgg
i
j
(
i
j
)
-
1
±
gfg
k
k
-
1
,gdzie
g
k
±
gg
i
j
,
g
-±
k
1
(
gg
i
j
)
-
1
,awięc
g
~
f.
