Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.6.Elementysprzężoneiklasy
Rozpatrzymyrelację
g
!±
ggg-
i
i
1
.Jeżelielementgjeststały,agi
obejmujewszystkieelementygrupy,otrzymamynelementów,zktórych
jednakniewszystkiesąróżne.Niechelementówróżnychbędziek.Zbiór
elementów
gg
1
ł
,k
g
zawierającywszystkieelementysprężonedo
,
,
elementugnazywamyklasąelementug-
Kg.Dlaklasyjestsłuszne
()
następującetwierdzenie:każdągrupęGmożnaprzedstawićjakpołącze-
nieklaselementówniemającychelementówwspólnych,toznaczy
p
G
±U,gdzieр-liczbaklaswgrupie,przyczym
K
k
K
i
m
K
j
±.
0
k
±
1
Dowiedźmynapoczątkuwzajemnegosprzężeniaelementówklasy
Kg.Rozpatrzymy
()
g
1
E
Kg
()
^
g
2
E
Kg
()
.Zgodniezwłaściwościami
klasy
g
1
~
g
i
g
2
~.Wtedyzwłaściwości2sprzężeniawynika,że
g
g
~
g
2
.Napodstawiewłaściwości3,otrzymamy1
g
~
g
2
.
Dowiedziemybrakuelementówwspólnychwklasach.Obierzemy
elementg1iutworzymyklasę
Kg
()
1
±
K
1
.Obierzemydalejdowolny
element
g
2
!
K
1
iutworzymyklasęK2.Kontynuujemytenproces,dopóki
niewyczerpiemycałejgrupy.Przypuśćmyteraz,że
K
i
m
K
j
#.To
0
znaczy,że
3
f
:
f
~
g
1
^
f
~
g
2
.Stądwynika,że
g
1
~
g
2
,cojest
sprzecznezzasadamitworzeniaklas.Twierdzeniejestudowodnione.
Liczbęelementówklasynazywamyrzędemklasy.Rządkażdejklasy
musibyćdzielnikiemrzędugrupy.Elementjednostkowysamtworzy
klasę.Wgrupachabelowychliczbaklasjestrównarzędowigrupy,bo
każdyelementsamtworzyklasę.
Rządelementównależącychdojednejklasyjestjednakowy.Jeżeli
g
h
±,to,ponieważ
e
f
±
ggg-
i
i
1
,dla
f
E
Kg
()
możnazapisać:
f
h
±
gggggg
i
i
-
1
i
i
-
1
.
±
ggg
i
h
i
-
1
±
geg
i
i
-
1
±
e
...
Jeżelirozpatrzyćzbióriloczynówparami
gg,zktórych
i
j
g
i
E
K
i
,
a
g
j
E
K
j
,tootrzymanyzbiórskładasiezcałejliczbyklas.Wskrócie
możnatozapisaćjako
KK
i
j
±Σ
mK
ijk
k
,gdzie
m
ijk
-liczbycałkowite.
k
17
