Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
18
1.Elementyformalnejteoriigrup
1.7.Podgrupaniezmiennicza
RozpatrzymypodgrupęH
C
G
izestaw
g
i
E.Dlaustalonegogiwy-
G
bierzmy
gHg-.Łatwosprawdzić,żetenzbiórelementówteżbędzie
i
i
1
podgrupągrupyG.Takąpodgrupęnazywamypodgrupąpodobnąpod-
grupieH.Jeżeli
g
i
E,tooczywiście
H
gHg
i
-±,alejeżelii
i
1
H
g
!
H
,to
gHg-będziepodgrupą,odmiennąodH.Podgrupyzbiegającesięze
i
i
1
wszystkimipodobnymisobiepodgrupaminosząnazwępodgrupnie-
zmienniczychalbodzielnikównormalnych.Takiepodgrupymająspe-
cjalneoznaczenieN.Jeżeli
g
i
E,to,jakwynikazdefinicjiN,
N
Kg
()
i
C
N
,dlategopodgrupaniezmienniczaskładasięzcałejliczby
klasgrupy.ZdefinicjiNwynikarównież
gN
i
±
Ngg
i
vE
i
G
,toznaczy,
żeleweipraweklasyprzyległedopodgrupyniezmienniczejsąiden-
tyczne.
Każdagrupamadwieniezmienniczepodgrupytrywialne-GiЕ.
Grupy,któreniemająinnychpodgrupniezmienniczych,nosząnazwę
grupprostych.
1.8.Grupailorazowa
RozpatrzmyGiN
C
G
.PrzedstawimyGwpostacipodziałunaklasy
przyległe
NNgNgN
1
2
ł
,k
g
-
1
N
,gdzieliczbak,równastosunkowi
:,
,
,
rzędugrupyGdorzędupodgrupyN,nazywasięindeksempodgrupy
niezmienniczej
k
±
nn
G
/
N
.Zbudujmyzbiór
(
gN
i
)
(
gN-zawieraon
j
)
wszystkiemożliweiloczyny
gngn
i
O
j
B
,gdzien
O
^
n
B
E.Oczywiste
N
jest,że
(
gN
i
)
(
gN
j
)
±
gggNgN
i
j
-
j
1
j
±
ggN
i
j
±
gN
k
,gdzie
g
k
±
gg
i
j
,
aNN-tozbiórelementów,należącychdoN,awięciloczynklasprzyle-
głychdajeinnąklasęprzyległą.
MnożeniedowolnejklasyprzyległejgiNprzezpodgrupęniezmienni-
cząNniezmieniatejklasy:
NgN
(
i
)
±
ggNgN
i
i
-
1
i
±
gNN
i
±
gN
i
.Dla
każdejklasyprzyległejmożnaznaleźćtakąklasę,żeichiloczynbędzie
równypodgrupieniezmienniczej:
(
gN
i
)
(
gN
i
-
1
)
±
NN
±
N
,toznaczy,że
klasyprzyległemożnatraktowaćjakelementytakiejgrupy,wktórejrolę
