Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.9.Homomorfizmiizomorfizmgrup
elementujednostkowegoodgrywapodgrupaniezmiennicza.Takagrupa
nazywasięgrupąilorazowąwzględemN,jejrządjestrównyindeksowiN
ioznaczasięjąG/N.
1.9.Homomorfizmiizomorfizmgrup
HomomorfizmemgrupyGwgrupęG
~,lubG
ą~,nazywamytakie
G
odwzorowanie,wktórymkażdemuelementowigG
E
odpowiadape-
wienelementgG
~
E~
(przyczymjesttylkojedentakielement),g
ą~.
g
Takazależnośćniemożebyćsprzecznazdefinicjągrupy:jeżeli
gg
i
j
±
g
k
,a
g
i
ą~i
g
i
g
j
ą~,to
g
j
g
k
ą~.Możnapowiedzieć,że
g
k
wgrupiejestokreślonapewnafunkcja
LggG
()
E,charakteryzującasię
następującąwłaściwością
Lgg
(
12
)
±
LgLg
()()
1
2
.Funkcjatajestna-
zywanahomomorfizmem.Wwynikujejdziałaniazbiórelementów
grupyG(nazywanyjądrem)zostajeodwzorowanywzbiórelementów
grupyG
~(nazywanyobrazem).
Homomorfizmjesttoodwzorowaniejednejgrupywdrugązzachowa-
niemodpowiadającychsobieoperacji.Oznaczato,żejednemuelementowi
gG
~
E~
możeodpowiadaćkilkaelementówgG
E.Jestmożliwerównież
wzajemniejednoznaczneodwzorowanie,kiedykażdemuelementowi
gG
E
odpowiadajedenelementgG
~
E~
ikażdemugG
~
E~
-jedenelement
gG
E.Wtakiejsytuacjiodwzorowanietonazywamyizomorfizmem
ioznaczamyG
e~dlagruplubg
G
e~-dlaelementów.Oczywiste,
g
izomorfizmjestmożliwytylkomiędzygrupamitegosamegorzędu.
Przykłady:
1.Homomorfizmtrywialny:G
ą~,gdzieEG
E
~
E~
-pojedynczyelement
grupyG
~.
2.Odwzorowaniegrupymacierzyortogonalnychrzędun-O(n)do
grupy{1,1}:
-
On
()
ą
{1,-1}
.Tenhomomorfizmprzekształcama-
cierzwjejwyznacznik.
3.Wszystkiegrupyrzędudrugiegosąizomorficznejednadodrugiej.
Jeżeli
G
±
{
eg
,
}
i
G
~
±
{
eg
~~,tomożnaustalićnastępującązależ-
,
}
nośće
ą~ig
e
ą~;gge
g
±ą
gg
~~
±
e
~.
19
