Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
20
1.Elementyformalnejteoriigrup
Istnienieizomorfizmudajemożliwośćsprowadzeniabadańwszyst-
kichgrupizomorficznychdobadańtylkojednejznich.
1.10.Właściwościhomomorfizmu
1.JeżeliG
ą~,toe
G
ą~.Prawdziwejestrównieżtwierdzenie,że
e
vE
gGeg
:
±
ge
±.Niech,teraz,g
g
ą~,ae
g
ą~.Wtedy,zgodnie
e
zregułamihomomorfizmu,eg
~~
±
ge
~~
±
g
~,atoznaczy,żee
~jestele-
mentemjednostkowymgrupyg
~.
2.ElementomodwrotnymgrupyGodpowiadająwhomomorfizmie
elementyodwrotnegrupyG
~.Niech
gg
i
k
±.Wtedywwynikuwła-
e
ściwości
Lgg
(
i
k
)
±
LgLg
()()
i
k
możnazapisać:
gg
~~
i
k
±
e
~.
3.JeżeliG
~jestgrupąhomomorficznądoG,towszystkiegG
E,odpowia-
dająceeG
~
E~
,tworząpodgrupęniezmiennicząNG
C.Niech1
gg
2
ł
,
,
,
g
s
ą~.Wtedyiloczynowiij
e
ggtejpopulacjiodpowiadaeee
~~
±
~.Tozna-
czy,żezbiórelementów1
gg
2
ł
,s
g
tworzypodgrupęgrupyG,gdyż
,
,
elementjednostkowyielementyodwrotnedoelementówgisązawarte
wtymzbiorze.Dalej,wwynikuwłaściwościhomomorfizmu,iloczyno-
wi
ggg-odpowiadaelement
i
1
geg
-±
1
e
~,awięc
ggg
i
-±
1
g
j
.Azatem
~~~
zbiór1
gg
2
ł
,s
g
tworzypodgrupęniezmienniczągrupyG.
,
,
4.Taksamomożnadowieść,żegrupaG
~jestizomorficznadogrupy
ilorazowejwzględempodgrupyniezmienniczejN.
1.11.Iloczynkartezjańskigrup
PrzyjmijmydwiegrupyG
(1)iG(2)zelementami(1)
g
i
i
g
(2)
j
.Możnazbu-
dowaćnowągrupę
G
(1)
®
G
(2)
,składającąsiezparelementów
(
g
i
(1)
|
g
(2)
j
)
.
Jeżelizałożyćprawomnożeniawpostaci
(
g
i
(1)
|
g
(2)
j
)
(
g
l
(1)
|
g
m
(2)
)
±
±
(
g
r
(1)
|
g
(2)
s
)
,gdzie
g
r
(1)
±
g
i
(1)
|
g
l
(1)
,a
g
s
(2)
±
g
(2)
j
|
g,tołącznośćtego
m
(2)
działaniajestoczywista.Elementemjednostkowymgrupy
G
(1)
®
G
(2)
jestelement
ee
(1)(2)
,natomiastelementemodwrotnymdoelementu
gg
i
(1)
(2)
j
jestelement
()(
g
i
(1)
-
1
g
(2)
j
)
-
1
:
