Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
34
1.Arytmetykafinansowa
dawcazachęcadonatychmiastowejzapłaty,udzielającwdniuzakupuwzględnego
upustucenowegoowartości1>s
˜>0.Upusttakinazywamyskonto.Wtejsytuacji
modelnieprzeterminowanejzapłatyzatowarmożemyprzedstawićjakofunkcję
z
˜:R×[0,∆t]→Rdanązależnością
˜(c
z
˜,t)=s∗((1-s
˜)c
˜,ti∆t,s
˜(∆t)-1)=
{
(1-s
˜
c
˜)c
˜
dla
dla
t=0,
tE]0,∆t].
Widzimy,żefunkcjawypłatjestidentycznazwartościąkapitalizowanązgórydla
stopynominalnejrównejs
˜(∆t)-1.Kosztkredytuustalasięjakostopęnominalną
p
˜przyzałożeniu,żeodsetkisąkapitalizowanezdołu.Wnaszymprzypadku,jeśli
następujeodroczonapłatność,tosprzedającyudzielakupującemukredytuwwysoko-
ści(1-s
˜)c
˜iwzamianoczekujeodroczonejzapłatywwysokościc
˜.Natęzapłatę
składasięudzielonykapitał(1-s
˜)c
˜iodsetkinależnezapożyczenietegokapitału.
Jeślizapłatanastępujewmomenciekońcowym∆t,tomamyzwiązek
s+((1-s
˜)c
˜,∆ti∆t,p
˜)=s∗((1-s
˜)c
˜,∆ti∆t,s
˜(∆t)-1)=c
˜.
Korzystajączzależności(1.80),dladowolnejcenyc
˜mamy
(1-s
˜)c
˜(1+p
˜∆t)=c
˜,
coostateczniedajekosztkredytukupieckiego
p
˜=
(1-s
˜
s
˜)∆t
>
∆t
s
˜
.
Kosztkapitałuwkredyciekupieckimjestzatemzawszewyższyodwyznaczonej
przezskontostopykapitalizacjizgóry.
Dodatkowo,dlaregularnejstrukturyterminowejstópforwardmożemywprosty
sposóbopisaćmetodękapitalizacjiciągłej,rozumianejjakowyidealizowanymodel,
wktórymokreskapitalizacji∆tjestdowolniekrótki.Używającjęzykasformalizowane-
go,zakładamy,żeokreskapitalizacjidążydozera.Liczbamomentówkapitalizacji,
poprzedzającychdowolnymomenttE]0,T],dążywtedydonieskończoności.Bezutraty
jednoznacznościmożemytutajwybraćdowolnąmetodękapitalizacji,gdyżmamy:
LEMAT1020
∀tE[0,T]lim
ς
∗(ti∆t,p)=lim
ς
∗(ti∆t,p)=ept.
∆t→0+
∆t→0+
Dowód.Rozważmynajpierwczynnikaprecjacjizgóry.Dlat=0mamy
ς
∗(0i∆t,p)=
ς
∗(0i∆t,p)=1=ep⋅0.
DladowolnegotE]0,T]monotonicznośćwartościprzyszłejdaje
ept=lim
(1+p∆t)t͞∆t+1уlim
(1+p∆t)entier(t͞∆t)+1
∆t→0+
∆t→0+
=lim
ς
∗(ti∆t,p)уlim
(1+p∆t)t͞∆t=ept,
∆t→0+
∆t→0+
(1.81)
(∗)
