Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
14§2.Równanialiniowezdowolnąliczbąniewiadomych
przeznajwiększywspólnydzielnikdwspółczynnikówa1,a2,...,am
przyniewiadomych.Jeżelibowiemprzypewnychcałkowitychx1,x2,
...,xmrównanie(2)zachodzi,toponieważdjestdzielnikiemkaż-
degoziloczynówa1x1,a2x2,...,amxm,więcjestteżdzielnikiemich
sumyb.
Udowodnimyteraz,żetenwarunekjestzarazemwystarczający,to
jestżejeżelibjestpodzielneprzeznajwiększywspólnydzielnikliczb
a1,a2,...,am,toistniejąliczbycałkowitex1,x2,...,xmspełniające
równanie(2).
Przypuśćmywięc,żea1,a2,...,amsątoliczbycałkowite,spo-
śródktórychconajmniejjedna,naprzykłada1,jestróżnaodzera.
OznaczmyprzezDzbiórliczbnaturalnychokreślonywnastępujący
sposób.LiczbęnaturalnąnzaliczamydozbioruDwtedyitylkowtedy,
gdyistniejąliczbycałkowitex1,x2,...,xmtakie,iż
n=a1x1+a2x2+...+amxm.
(6)
ZbiórDniejestpusty(tj.zawieraconajmniejjednąliczbę),gdyż
wobeca1=a1·1+a2·0+...+am·0oraz−a1=a1·(−1)+
+a2·0+...+am·0,taspośródliczba1i−a1,którajestnaturalna,
należydozbioruD.Oznaczmyprzezdnajmniejsząliczbęnaturalną
należącądozbioruD.(Liczbatakaistnieje,gdyżwkażdymniepustym
zbiorzeliczbnaturalnychistniejeliczbanajmniejsza).Ponieważliczba
dnależydozbioruD,więczdefinicjitegozbioruwynika,żeistnieją
liczbycałkowitet1,t2,...,tmtakie,iż
d=a1t1+a2t2+...+amtm,
(7)
aponieważdjestnajmniejsząliczbązbioruD,więcdlakażdejliczby
naturalnejnbędącejpostaci(6)zachodzinierównośćn≥d.Okażemy,
żeliczbaa1x1+a2x2+...+amxmjestprzywszelkichcałkowitych
x1,x2,...,xmpodzielnaprzezd.
Przypuśćmy,żetakniejest,tzn.żeprzypewnychcałkowitych
y1,y2,...,ymliczbaa1y1+a2y2+...+amymprzydzieleniuprzez
ddajeilorazcałkowitykorazresztędodatniąr.Mamywięcwtedy
a1y1+a2y2+...+amym=kd+r,skąd,wobec(7),r=a1y1+a2y2+
+...+amym−k(a1t1+a2t2+...+amtm)=a1x1+a2x2+...+
+amxm,gdziexi=yi−ktidlai=1,2,...,m,sątooczywiścieliczby
