Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
2010Analitycznemetodywyznaczaniaekstremów
5
Analitycznemetodywyznaczaniaekstremówstosujesiędlafunkcjiciągłych,które
niemogąskokowozmieniaćswoichwartoci.Cowięcej,wymagasięrównież,abyfunk-
cjabyłaróżniczkowalna(przynajmniejwpewnychprzedziałachotwartych),copozwala
nawmiaręprosteidokładnewyznaczanieekstremów.
TWIERDZENIE201
Jelifunkcjaróżniczkowalnaf:(a7b)→Rposiadaekstremumlokalnewpunk-
ciex∗∈(a7b),topochodnatejfunkcjiwpunkciex∗sięzeruje,czyli
f′(x∗)=0.
Zerowaniepochodnejwpunkciex∗niezapewniaistnieniaekstremumwtympunk-
cie(rysunek2.1).Twierdzenie2.1stanowibowiemjedyniewarunekkoniecznynaist-
nienieekstremum.Abystwierdzić,czyekstremumfunkcjifwystępujewpunkciex∗,
należyfunkcjępoddaćdalszemubadaniu(kilkawarunkówwystarczającychnaistnienie
minimumlubmaksimumlokalnegopodajemydalej).
Rys02010Funkcjaróżniczkowalnafipunktx∗,dlaktóregof′(x∗)=0(znakpochodnejpoobustronach
punktux∗oznaczonosymbolem+i1)
ZwracamyuwagęCzytelnikanafakt,żezazwyczajfunkcjewystępującewproble-
machpraktycznychsązbytskomplikowane,abymożnabyłodlanichwłatwysposób
(tzn.wystarczającoszybkoibezbłędnie)wyznaczyćanalityczniepochodneprzyużyciu
papieruiołówka.Ztegopowodudoobliczeńwykorzystujesięobecnieprogramyma-
tematyczne(np.Maple,Mathematica,Matlab),oczywicieprzyzałożeniu,żefunkcja
celudanajestwpostacianalitycznej.Natomiastżadenprogramnieodpowienamna
pytanieczyfunkcjacelu,przydanychograniczeniach,maminimumglobalneorazjak
jewyznaczyć,choćzapewnedostarczywielegotowychmetodwyznaczaniaminimów
lokalnych.Ztegopunktuwidzeniaprzydatnamożebyćwiedzateoretycznazzakresu
analizymatematycznej.