Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
Będziemydalejrozpatrywaćtakiezadanie,wktórymprzemieszczeniasątakdobrane,aby
uniemożliwićruchsztywnypręta.
WyjaśniającmetodęzaproponowanąprzezdeSaint-Venanta,rozpoczniemyrozważania
odzacytowaniaelementarnegowynikudotyczącegoswobodnegoskręcaniaprętaoprzekroju
kołowym,patrzpkt.2.Wzadaniutymzakładasię,zgodniezzasadądeSaint-Venanta
orównoważnymobciążeniu,żewypadkowąpolawektoranaprężenianakońcachprętasą
momentyskręcająceorazprzyjmujesię,żepunkt
O
(np.początekukładuwspółrzędnych)nie
przemieszczasię.Wtrakcieskręcaniaprzekrojepoprzecznepozostająpłaskie,czyli
w1
0
.
Ponieważdowolnyprzekrójpoprzecznyprętaobrócisięokąt
-
z
(
-
jestkątemskręceniana
jednostkędługościpręta),tootrzymamynastępująceprzemieszczenia:
u
1-
-
zy
,
v
1
-
zx
.
(3.4)
Zauważmy,żerównania(3.1)sąspełnionetożsamościowoitakżespełnionesąwarunki
brzegowenapobocznicachwalca,natomiastwarunkibrzegowewnaprężeniachnakońcach
prętówspełnionesąwsposóbcałkowy.
Zastosowaniehipotezypłaskichprzekrojówwprzypadkuprętówoprzekrojuróżnymod
kołowegoprowadzidojakościowejniezgodnościtegozałożeniazpodstawowymi
doświadczeniami.DlategoSaint-Venantzałożył,żewystąpispaczenieprzekroju,którebędzie
jednakowedlawszystkichprzekrojówpoprzecznychpręta,czyli
w
1<
-
(
xy
,
)
,
(3.5)
gdziefunkcja
<
(
xy
,
)
jestnazywanafunkcjądeplanacji(spaczeniaprzekrojupręta).
Podstawiając(3.4)i(3.5)do(3.1)zauważamy,żewzadaniuswobodnegoskręcania
dylatacja(3.2)jestzerowa,dwarównaniaprzemieszczenioweLamégo,tzn.równania(3.1)1,2
sąspełnionetożsamościowo,zaśzrównania(3.1)3otrzymamynastępującerównanie
Laplace’a:
V<
2
(
xy
,
)
1
0
,
(3.6)
czylifunkcjadeplanacjijestfunkcjąharmoniczną.Przypominamy,żesymboln
V
2
”oznacza
operatorLaplace’a.WobectegorównanieLaplace’a(3.6)możnazapisaćwpostaci
V<1
2
divgrad
(
<1
)
0
.
(3.7)
Ponieważpobocznicepręta(
n1
z
0
)niesąobciążone,topopodstawieniu(3.4)i(3.5)
w(3.3),mamytylkojednąniezerowązależność
§
¨
©
w<
w
x
-
yn
·
¸
¹
x
+
§
¨
©
w<
w
y
+
xn
·
¸
¹
y
1
0
,
(3.8)
którajestwarunkiembrzegowymrównania(3.6).Wtensposóbzagadnienieskręcania
jednospójnegoprętapryzmatycznegoodowolnymprzekrojupoprzecznymzostało
sprowadzonedoznalezieniafunkcjiharmonicznejspełniającejwarunek(3.8).Zewzględuna
warunekbrzegowy(3.8)funkcjadeplanacjijestwyznaczonazndokładnością”dostałej.Jeżeli
32
