Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.Elementylogikimatematycznej
Jeżelif(x)jestjakąśfunkcjązdaniową,tomałykwantyfikatoroznaczamy
symbolem
f(x)iczytamy:istniejetakiex,żef(x)lub:dlapewnegoxza-
x
chodzif(x).Zdanietakieoznaczazatem,żedlapewnegoelementuzezbioru
dopuszczalnegozachodziwarunekf(x).
Dużykwantyfikatoroznaczamysymbolem
f(x)iczytamy:dlakażde-
x
goxzachodzif(x)lub:dlawszystkichxzachodzif(x).Zdanietooznacza,
żecokolwiekpodstawiamyzaxzezbiorudopuszczalnego,tozachodzif(x).
Małykwantyfikatoroznaczasięrównieżsymbolem∃
lub∃x,natomiast
x
duży–symbolem∀
x
lub∀x.Zauważmydalej,żejeżelif(x)jestfunkcją
zdaniową,towyrażenie
f(x)czyteż
f(x)jestjużzdaniem,bowiem
x
x
zmiennaxzostałazwiązanakwantyfikatorem.
Jeżelimamyfunkcjęzdaniowąwiększejliczbyzmiennych,tomożemy
jąpoprzedzićwiększąliczbąkwantyfikatorów,tymniemniejliczbakwanty-
fikatorówniemożeprzekroczyćliczbyzmiennych.
Dlaprzykładurozważmyfunkcjęzdaniowąf(x,g,z)trzechzmiennych.
Wtedy:
f(x,g,z)jestfunkcjązdaniowązmiennychgiz,
x
f(x,g,z)jestfunkcjązdaniowązmiennejz,
x
y
x
x
y
f(x,g,z)jestzdaniem.
Zwróćmyterazuwagęnato,żewpraktyceczęstoużywamytzw.kwan-
tyfikatorówoograniczonymzakresie,wyszczególniającpodkwantyfi-
katoremzbiór,jakiprzebiegajązmienne.Możetozmienićwartośćlogiczną
rozważanychwyrażeń.
Przykład1.5
Rozważmyfunkcjęzdaniowąϕ(x),określonąnastępująco:
ϕ(x):x>x
2.
Jeżeliterazfunkcjętępoprzedzimydużymkwantyfikatorem,tootrzymamy
zdanie
x
x>x2.
Możemysiędomyślić,żezbioremdopuszczalnymjesttuzbiórliczbrzeczy-
wistychR.Powyższewyrażenie(zdanie)możemywięcnapisaćwpostaci
x∈R
x>x2.
Jesttooczywiściezdaniefałszywe,bowystarczyprzyjąćnp.x=2.
14
