Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.Elementylogikimatematycznej
Jesttooczywiściezdaniefałszywe,bowiemniematakiejliczbyrzeczywi-
stejg,którajestwiększaodwszystkichliczbrzeczywistychx.
Wyrażenialogicznezbudowanezfunkcjizdaniowychikwantyfikato-
rówpodlegająprawomlogicznympodobnymdoprawrachunkuzdań.Itak
np.prawatemówiąomożliwościwzajemnegoprzestawianiadużychkwan-
tyfikatoróworazomożliwościprzestawianiamałychkwantyfikatorów.Na
przykład
x
y
f(x,g)⇐⇒
y
x
f(x,g),
f(x,g,z)⇐⇒
f(x,g,z).
x
y
z
y
x
z
DonajważniejszychtegotypuprawzaliczająsięprawadeMorgana.Mają
onepostać:
∼
x
f(x)⇐⇒
x
∼f(x),
∼
x
f(x)⇐⇒
x
∼f(x).
Przykład1.8
Rozważmyzdanie
x∈R
y∈R
(x<1=⇒x+g<2).
Wtymprzypadkuniejestłatworozstrzygnąć,czyjesttozdanieprawdziwe
czyfałszywe.Zbadamywięczaprzeczenietegozdania.Korzystajączpraw
deMorganadlakwantyfikatorów,otrzymamy
∼
(x<1=⇒x+g<z)⇐⇒
x∈R
y∈R
⇐⇒
x∈R
∼{
\
y∈R
(x<1=⇒x+g<2)\
)
⇐⇒
⇐⇒
∼(x<1=⇒x+g<2).
x∈R
y∈R
Jeżeliterazskorzystamyznastępującejtautologii
∼(p=⇒q)⇐⇒(p∧∼q)
16
