Treść książki

Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
3.MODELEOBIEKTÓWSTEROWANIA
303030LiniatransmisyjnaRCjakoobiektsterowania
29
NieobcionaelektrycznaliniatransmisyjnaRC,zwanatakekablemW.Thomsona(lordaKe-
lvina)odługocijednostkowej,przedstawionanarysunku3.7,opisanajestukłademrównań:
(
01−v
θ
(
θ
,t)−Ri(
θ
,t),
tł0,0≤
θ
≤1
]
I
I
I
I
I
I
I
4
I
I
I
I
I
I
l
Cvt(
i(1,t)10,
θ
u(t)1v(0,t),
y(t)1v(1,t),
,t)1−i
θ
(
θ
,t),
tł0,0≤
tł0
tł0
tł0
θ
≤1
I
I
I
I
I
}
I
I
I
I
I
I
J
.
0
1
✲
θ
LINIA
❞
TRANSMISYJNA
RC
✻
i(1,t)10
✲
❞
✻
v(0,t)
v(1,t)
❞
t
❞
RYSUNEK3.7.LiniatransmisyjnaRCbezobcienia
Podstawieniex(
θ
,t)1v(
θ
,RCt)redukujetenukładdopostaci
(
I
xt(
θ
,t)1x
θθ
(
θ
,t)
tł0,0≤
θ
≤1
]
I
I
I
4
I
I
I
l
x
θ
(1,t)10,
u(t)1x(0,t),
y(t)1x(1,t),
I
tł0
I
}
I
I
I
J
.
tł0
tł0
ĆWICZENIE3.3.Jaknaleydobraćliczbę
λ
∈Corazfunkcję
φ
∈C2[0,1],
φ
/≡0,aby
x(
θ
,t)1et
λφ
(
θ
),
0≤
θ
≤1
(3.12)
byłorozwizaniemtrzechpierwszychrównańukładu(3.12)przysterowaniuzerowym?Wska-
zówka.Wwynikupodstawieniapostulowanegorozwizaniadoukładu(3.12)otrzymujemy
problembrzegowy(dwugraniczny)
(
4
l
φ
φ
φ
′′(
′(1)10
(0)10
θ
)1
λφ
(
θ
),
0≤
θ
≤1
]
}
J
.
(3.13)
Rozwizaniemogólnympierwszegorównaniajest
φ
(
θ
)1C1e−√
λθ
+C2e
√
λθ
.Wstawiajcto
rozwizaniedowarunkówbrzegowych,otrzymujemyliniowy,jednorodnyukładnanieznane
stałeC1,C2,
[−√
λ
1
e−√
λ
√
λ
1
e√
λ
][C1
C2]1[0
0].
Układtenmaniezerowerozwizanie,gdyjegomacierzjestosobliwa,coprowadzidorównania
charakterystycznegoukładu(3.12),
cosh√
λ
10.
(3.14)