Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
24
1.Wektorylosoweiichrozkładyprawdopodobieństwa
gdzieX1ip1mająrozmiaryk×1,natomiastΣjestrozmiaruk×k.Kładąc
wTwierdzeniu1.14
A=[Ik,0](k×p),a=0,
otrzymujemy,żeX1∼Nk(p1,Σ11).
Podobnierozkładbrzegowykażdegopodwektorakskładowychwektora
Xjestnormalny,gdziewartośćoczekiwanąimacierzkowariancjiuzysku-
jemyzpiΣpoprzezwydzielenieodpowiedniegopodwektoraipodmacierzy.
I
JednązkonsekwencjiTwierdzenia1.15jestfakt,żerozkładbrzegowy
każdejskładowejwektoraXjestjednowymiarowymrozkłademnormalnym.
Twierdzenieodwrotnewogólnościniejestprawdziwe,tj.fakt,żekażda
składowawektoralosowegomarozkładnormalny,nieimplikuje,żewektor
mawielowymiarowyrozkładnormalny.
Przykład1.1.Załóżmy,żeU1,U2,U3sąniezależnymizmiennymi
losowymiorozkładachN(0,1)iniechZbędziedowolnązmiennąlo-
sową.ZdefiniujemyX1iX2następująco:
X1=
U1+ZU3
√1+Z2
,
X2=
U2+ZU3
√1+Z2
.
PrzyustalonejwartościzmiennejZ,zmiennaX1marozkładnormalny
N(0,1).PonieważrozkładtenniezależyodZ,więcjestonbezwa-
runkowymrozkłademzmiennejX1.PodobniezmiennaX2marozkład
N(0,1).RozkładłącznyzmiennychX1iX2przyustalonejwartości
zmiennejZjestdwuwymiarowymrozkłademnormalnym,alebezwa-
runkowyrozkładoczywiściejużnimniejest.
I
Oczywiścietwierdzenieodwrotnejestprawdziwe,jeżeliskładowewek-
toraXsąniezależneimająrozkładynormalnelubjeżeliXskładasięznie-
zależnychpodwektorów,któremająrozkładynormalne.Dlatakiegowek-
torafunkcjelinioweskładowychwektoraXsąfunkcjamiliniowyminieza-
leżnychzmiennychlosowychorozkładachnormalnychistądmająrozkłady
normalne.Fakttenwykorzystamywdowodzienastępującegotwierdzenia.
