Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
14
2.BezpośredniametodaLapunowa–układystacjonarne
x(t)=x(t;t03x0)układu(2.1),tostajesięonafunkcjączasu.Jejpochodnąwzględem
czasumożnaobliczyćtakjakpochodnąfunkcjizłożonej
dt
d
V(x(t))=∇V(x(t))˙
x(t)=∇V(x(t))f(x(t))3
gdzie
∇V(x)=[
∂x1
∂V
∂x2
∂V
000
∂xn].
∂V
(2.2)
(2.3)
Definicja2.2.Funkcja˙
V:D→R,˙
V(x)=∇V(x)f(x)jestnazywanapochodnąfunkcjiV
wzdłużtrajektoriisystemu(2.1),lubkrótkopochodnąsystemowąfunkcjiV.Funkcja˙
V(x)
jestteżnazywanapochodnąLie’gowzdłużpolawektorowegofioznaczanaLfV(x).
Twierdzenie2.1(twierdzenieLapunowaostabilności)
JeżeliistniejefunkcjaV:D→Rróżniczkowalnawsposóbciągły,dodatniookreślona
wDitaka,żejejpochodnasystemowa˙
V:D→RjestujemniepółokreślonawD,topunkt
równowagixe=0układu(2.1)jeststabilny.Jeślijejpochodnasystemowa˙
V:D→Rjest
ujemnieokreślonawD,topunktrównowagixe=0układu(2.1)jestasymptotycznie
stabilny.
Dowód:
Zgodniezdefinicją1.4weźmydowolnąliczbę8>0,bezograniczeniaogólnościmożna
przyjąć,żekulaopromieniu8zawierasięwD(rys.2.1):
B8={xER
n:"x"≤8}⊂D.
Niech
α=min
"x"=8
V(x).
(2.4)
(2.5)
Liczbaαjestdodatnia,boV(x)>0wszędziepozax=0.Weźmywięcliczbęβ,0<β<α
ioznaczmyzbiór
Ωβ={xEB8:V(x)≤β}.
(2.6)
Oczywiściezdefinicjitegozbioruwynika,żeΩβ⊂B8.Rozważmydowolnątrajektorię
x(t)=x(t;t03x0)układu(2.1),takążex0EΩβ.Wzdłużtejtrajektoriimamy˙
V(x)≤0,
więciV(x(t))≤V(x0)≤β,czylicałatrajektoriax(t)pozostaniewzbiorzeΩβ⊂B8dla
dowolnegot.Cowięcej,zciągłościfunkcjiV(x)wynika,żeistniejeδ>0,takaże
"x"<δ⇒V(x)<β3
(2.7)
czylizachodziBδ={xERn:"x"<δ}⊂Ωβ⊂B8.Takwięc,ztakimwyboremδimpli-
kacja
"x"<δ⇒"x"<8
(2.8)
jestprawdziwaizgodniezdefinicją1.4punktrównowagixe=0układu(2.1)jeststabilny
wsensieLapunowa.
