Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
2.3.Zasadyzachowaniamasy,pęduienergiiorazrównaniakonstytutywne
15
tylkoodpołożeniategopunktu,aletakżeodnormalnejnwtympunkcie.Element
powierzchnidσmożnaprzeprowadzićdowolnieprzezrozważanypunkt,cooznacza,
żeliczbanormalnychwtympunkciejestnieskończeniewielka.Tosamodotyczywięc
składowychwektorap
n.
Możnaudowodnić(patrzaneksC),żeprzypoczynionychzałożeniachzależność
(2.20)konkretyzujesię,przybierającpostać
p
n=Πn,
(2.21)
gdziesymbolΠoznaczasymetrycznytensor,zwanytensoremnaprężenia.Wprosto-
kątnymukładziewspółrzędnychx,y,zmożnagoprzedstawićwnastępującysposób:
Π=
pxy
pxx
pxz
pyx
pyy
pyz
pzz
pzy
pzx
.
(2.22)
Jegosymetriawynikazzasadyzachowaniamomentupędu,którejtunieprzytaczamy;
por.[1]ianeksC.
Zdowolnościobszarurwynika,iżrównania(2.19)spełnionebędąwtedyitylko
wtedy,gdy—pouwzględnieniuzałożeniaoróżniczkowalnościfunkcjipodcałkowych
ipotransformacjachzmierzającychdozamianycałekpodwójnychnapotrójne—znikną
wuzyskanychwyrażeniachwszystkiefunkcjepodcałkowe.Otrzymujesięwrezultacie
następującyukładrównańróżniczkowych:
∂ρ
∂t
+div(ρV)=0,
ρ
dV
dt
=ρF+DivΠ,
ρ
dtE+
d
V2
2=ρFV+div(ΠV)−div(Q)+ρq,
(2.23)
(2.24)
(2.25)
równoważnyukładowi(2.19)równańcałkowych.
Symboldivjestużytywodniesieniudodywergencjipolawektorowego,symbol
Divnatomiast—naoznaczeniedywergencjipolatensorowego.
Jakwidać,żadenzukładów(2.19)lub(2.23)–(2.25)niejestukłademzamknię-
tym,aściślejliczbafunkcjiniewiadomychjestwkażdymznichwiększaodliczby
odpowiednichrównań.BędziemywprawdzietraktowaliForazqjakofunkcjeznane
typu(2.1),awięcniezależneodruchupłynu,tojednakniewystarczadozamknięcia
układu.Abytegodokonać,trzebadołączyćdoniegorównaniakonstytutywne,będą-
cewyrazempostulatówdotyczącychdalszychwłasnościfizykalnychprzyjętegomodelu
płynu.
Pierwszyztychpostulatów,nazywanyhipoteząNewtonaianalogicznydoprawa
Hooke’awystępującegowteoriisprężystości,dotyczyproporcjonalnościnaprężenia
