Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
PrzytoczonesłowaŁukasiewiczaodnoszącesięwprawdziewprostdologiki(do-
kładniej:logistyki,jaknaówczasnazywanologikęformalną),odnosząsięteżdo
matematykii–moimzdaniem–trafnieopisująodczuciapracującegomatematyka.
Kończącrozważaniaoplatonizmiezauważmyjeszcze,żeprzyjęcietejkon-
cepcjiontologicznejimplikuje,żeproblemprawdyiprawdziwościwmatematyce
stajesięprosty.nPrawdziwy”znaczybowiemwtedypoprostutyle,conzgodny
zestanemrzeczywświecieczywrzeczywistościmatematycznej”.Możemywięc
wtymprzypadkumówićoobiektywnejprawdziematematycznej.Stądwynika
wszczególności,iżkażdyproblemmatematycznytypupytania-rozstrzygnięcia
ntak–nie”majużistniejącerozwiązanie.Niematuwięcmiejscanaproblemynie-
rozstrzygalne!Chodzitylkooto,byznaleźćwłaściwąodpowiedź.Możetobyć
bardzofrustrującedlamatematyka,któremunieudajesięznaleźćtegorozwiązania.
StawiatoteżwnowymświetletwierdzeniaGödlaoniezupełności(por.Gödel1931;
wykładtychzagadnieńznaleźćmożnanaprzykładwksiążceMurawskiego1990).
StądteżpodnoszenieprzezGödlakoniecznościrozbudowywaniabazyaksjoma-
tycznejistniejącychjużteorii.Matopozwolićnarozstrzyganiestwierdzeń,któresą
nierozstrzygalnewoparciuodotychczasowysystemaksjomatów.Noweaksjomaty
powinnyujmowaćnowewłasnościobiektywnieistniejącychobiektówmatema-
tycznych,którychnienuchwycono”wdotychczasowychaksjomatach.Wzwiązku
ztymGödelgłosiłnaprzykład,żehipotezakontinuummaściśleokreślonąwartość
logiczną,tzn.jestprawdziwalubfałszywawuniwersumzbiorówitylkoprzyjmo-
wanydotądukładaksjomatówteoriimnogościjestzasłaby,byśmymoglinajego
podstawiestwierdzić,któraztychmożliwościzachodzi.Stądteżpostulowanaprzez
niegokoniecznośćprzyjęcianowychaksjomatówstwierdzającychnowewłasno-
ściuniwersumzbiorów.Gödelproponowałwszczególnościrozważanienowych
silnychaksjomatównieskończonościpostulującychistnieniedużychliczbkardynal-
nych.Twierdziłprzytym,żemogąznichwynikaćnietylkorozstrzygnięciakwestii
typuhipotezykontinuum,aletakżeinteresującekonsekwencjearytmetyczne.Po-
stulowałrównieżrozważanieaksjomatówopartychnazupełnieinnychideachniż
przyjmowanedotychczas,przyczympodkreślał,żeniemuszątobyćstwierdzenia
bezpośredniooczywiste.
Platonizmnatrafianainnejeszczetrudności.Otóżprzyjęciegopociągaza
sobąto,żeistniećmożenaprzykładtylkojednaprawdziwageometria.Jakzatem
wyjaśnićistnienieróżnychwzajemniesprzecznychsystemówaksjomatycznych
geometrii(czyteoriimnogości)?Jeślitylkojedenznichmożebyćopisemprawdzi-
wejrzeczywistościmatematycznej,tozapytaćnależy:który?Icowtedyopisują
ioczymmówiąpozostałesystemy?
Przejdźmyterazdorozważeniadrugiejgrupypoglądównaistnienieobiek-
tówmatematycznychobejmowanychwspólnymmianemkonceptualizmu.Cechą
wspólnątychkoncepcjijestteza,żeprzedmiotymatematykisąwytworemludzkiego
umysłu.Istniejązatemtylkoteobiektymatematyczne,któresąkonstruowalne,czyli
te,któremożnaskonstruowaćzobiektów,którychistnieniejestintuicyjniejasne.
16
