Treść książki

Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.GENEROWANIETOPOLOGII,BAZYIPODBAZY
9
(ajb)=t{[a+b1a
n+1jb):nEN}dladowolnychajbER,gdziea<b.Zbiórliczb
rzeczywistychztopologiąSorgenfreyanazywamyprzestrzeniąSorgenfreya
lubprostąSorgenfreyaioznaczamysymbolemS.
˚
Jeśli(XjT)jestprzestrzeniątopologiczną,tosymbol
exp(X)={F™X:F”=ÿiX\FET}
oznaczarodzinęwszystkichniepustychpodzbiorówdomkniętychprzestrzeni
X.Wexp(X)wprowadzasiętopologiętak,abydlakażdegoUETzbiory
U
+={FEexp(X):F™U}orazU1={FEexp(X):UflF”=ÿ}(1.2)
byłyotwarte.Wówczaselementyrodzinyexp(X)zawartewzbiorzeotwartym
będątworzyłyzbiórotwarty,aelementyrodzinyexp(X)zawartewzbiorze
domkniętymbędątworzyłyzbiórdomknięty,bo
exp(X)\U1={FEexp(X):F™X\U}.
Definicja1.1.9(topologiaVietorisa).Jeśli(XjT)jestprzestrzeni!to-
pologiczn!,totopologiąVietorisanazbiorzeexp(X)nazywamytopologię
T(R)generowan!przezrodzinę
R={U+:UET}fi{U1:UET}.
Zbiórexp(X)zt!topologi!nazywamyprzestrzeniąVietorisa.
Zgodnieztwierdzeniem1.1.7rodzinaRtworzypodbazętopologiiVieto-
risa,awięcskończoneprzekrojetejrodzinytworząbazę.Ponieważotopologii
Vietorisabędziejeszczepóźniejmowa,towkolejnymprzykładzieopiszemy
dokładniejpostaćjejbazy.
Przyk≥ad1.1.10(bazatopologiiVietorisa).NiechUojU1j...jUn™X
będązbioramiotwartymiiniech
V(UojU1j...jUn)={FEexp(X):F™UofiU1fi...fiUnoraz
(ViŚn)(FflUi”=ÿ)}.(1.3)
PonieważV(UojU1j...jUn)=(UofiU1fi...fiUn)+flU1
ofl...flU1
n,tozbiory
tesąotwartewtopologiiVietorisa.Pokażemy,żezbiorypostaci(1.3)tworzą
bazęwexp(X).Zauważmy,że
U
oflU+
+
1fl...flU+
n=(UoflU1fl...flUn)
+j
awięczgodnieztwierdzeniem1.1.7bazątopologiiVietorisajestrodzina
B={W+flV1
1fl...flV1
m:WjV1j...jVmET}.
Azatem,abywykazać,żezbiorypostaci(1.3)tworząbazęwexp(X),wystar-
czywykazać,żedlakażdegoFEW+flV1
1fl...flV1
mzachodzi
FEV(WjWflV1j...jWflVm)™W
+flV1
1fl...flV1
m.
UstalmydowolneFEW+flV1
1
fl...flV1
m.SkoroF™WorazFflVi”=ÿ
dlaiŚm,toF™Wfi(WflV1)fi...fi(WflVm)orazFflWflVi”=ÿdla