Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
2.2.Szczególnateoriawzględności
35
Einsteinpostulował,żeprędkośćświatławpróżnijesttakasamawewszystkich
układachinercjalnych.Tenpierwotnypostulatszczególnejteoriiwzględnościimpli-
kuje,żepunktczasoprzestrzennynafronciefaliimpulsuświatławyemitowanego
wczasiet=t!=0spełniazarównox2+,y2+z2=c2t2,jakix!2+,y!2+z!2=c2t!2.
Wkonsekwencjiinterwałczasoprzestrzenny
c2t2-x2-,y2-z2=c2t!2-x!2-,y!2-z!2
(2.2)
jestwielkościąniezmienną.Zaobserwowano,żejegowartośćjesttakasamwe
wszystkichukładachodniesienia.Równanie(2.2)jestspełnione,jeśliwspółrzędne
wukładachΣiΣ!sąpowiązanetransformacjąLorentza
t!=,(t–
c2
v
z�,x!=x,y!=yandz!=,(z–vt),
gdzieczynnikLorentzaγwynosi
,=(1–B2)–
1
2,
gdziel=v/c.Dladolnejgranicyprędkościv<cczynnikLorentzaredukujesiędo
jednościiuzyskiwanajesttransformacjaGalileusza.Wjednostkachnaturalnych,
gdziec=1,transformacjaLorentzawspółrzędnychczasoprzestrzennychmapostać
t!=,(t–Bz),
x!=x,y!=yandz!=,(z–Bt).
MożnatozapisaćwpostacimacierzowejjakoX!=ΛX,
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
x!
y!
z!
t!
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
–,BOO
,
O
O
OO–,B
1O
O1
O
,
O
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
y
z
t
x
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
,
(2.3)
(2.4)
gdzieXjestczteroelementowymwektorem{t,x}.OdwrotnątransformacjęLorentza
zΣ!doΣuzyskujesięprzezodwrócenieznakuprędkościwzależności(2.3),także
t=,�t!+Bz!�,x=x!,y=y!andz=,(z!+Bt!).
WpostacimacierzowejmożnatozapisaćjakoX=Λ−1X!,
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
x
z
y
t
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
+,BOO
,
O
O
OO+,B
1O
O1
O
,
O
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
y!
x!
z!
t!
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
.
(2.5)
(2.6)
Łatwojestudowodnić,żemacierzewystępującewzależnościach(2.4)i(2.6)sąwza-
jemnieodwrotne,czyliΛΛ−1=I.Równaniamacierzowe(2.4)oraz(2.6)definiują
transformacjęLorentzamiędzywspółrzędnymiczasoprzestrzennymimierzonymi
wdwóchukładachinercjalnych,wktórychruchwzględnynastępujewkierunkuz.
