Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
36
2.Podstawowepojęcia
202020CzterowektoriniezmiennośćLorentza
Wfizycecząstekelementarnychbardzopożądanejestwyrażanieprzewidy-
wańfizycznych,takichjakprzekrojeczynneoddziaływaniaiszybkościrozpadu,
wpostaciwyraźnieniezmienniczejLorentza,którąmożnazastosowaćbezpośrednio
wewszystkichukładachinercjalnych.PomimożetransformacjaLorentzastanowi
podstawęszczególnejteoriiwzględności,niezmiennośćLorentzajestważniejszą
koncepcjąwwielunastępnychteoriach.NiezmiennośćLorentzanajlepiejwyrazić
wpostaciczterowektora.Kontrawariantnyczterowektorjestdefiniowanyjakozbiór
wielkości,któremierzonewdwóchukładachinercjalnychsąpowiązanetransforma-
cjąLorentza,jakwzależności(2.4).Naprzykładkontrawariantnyczterowektorxμ
zostałzdefiniowanyjako
xP=(t,x,y,z),
gdzieindeksyμ={0,1,2,3}oznaczająwspółrzędneczasoprzestrzennezzero-
wymindeksemreprezentującymczas.WformietensorowejtransformacjęLorentza
zzależności(2.4)możnaterazwyrazićjako
x!P=ΛPvxv,
(2.7)
gdzieΛμνmożnatraktowaćjakoelementymacierzyΛ,akonwencjasumowaniaEin-
steinadlapowtarzającychsięindeksówjestwykorzystywanadowyrażeniamnoże-
niamacierzy.
Wielkośćtrzywektoranormalnego,którajestokreślanaprzeziloczynskalarny
trzywektorax·x,jestniezmiennaprzyobrotach.NiezmiennośćLorentzadlaprze-
działuczasoprzestrzennego,t2-x2-,y2-z2,możnawyrazićjakoczterowektor
iloczynuskalarnego,definiująckowariantyczterowektorczasoprzestrzenny,
xP=(t,–x,–y,–z).
Stosująctęnotację,przedziałczasoprzestrzennyniezmiennywsensieLorentza
możnazapisaćjakoiloczynskalarnyczterowektora
xPxP=xOxO+x1x1+x2x2+x3x3=t2–x2–y2–z2.
Głównympowodemwprowadzeniakowariantnychczterowektorów,któresąozna-
czoneindeksem„dolnym”wceluodróżnieniaichododpowiadającychimczterowek-
torówkontrawariantnych,jestuwzględnienieznakówminuswiloczynachniezmien-
niczychLorentza.TransformacjęLorentzawspółrzędnychczasoprzestrzennych(2.3)
możnazapisaćwkategoriachskładowychczterowektorakowariantnegojako
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
–x!
–y!
–z!
t!
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
+,BOO
,
O
O
OO+,B
1O
O1
O
O
,
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
–x
–y
–z
t
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
.
(2.8)
