Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
2.2.Szczególnateoriawzględności
37
Zmianyznakuwtejmacierzywstosunkudowyrażenia(2.4)kompensujązmiany
znakuwdefinicjixμwstosunkudoxμ.Zarówno(2.8),jaki(2.4)sąrównoważnymi
wyrażeniamitejsamejtransformacjiLorentzapierwotniezdefiniowanejw(2.3).
Macierztransformacjiwystępującaw(2.8)jestodwrotnościątejz(2.4).Wcelu
uwypukleniategorozróżnieniawnotacjitensorowejtransformacjaczterowektora
kowariantnegozostałazapisanajako
x!
P=ΛP
vxv,
(2.9)
gdzieindeksdolnypojawiasięjakopierwszywΛμν,któryreprezentujeele-
mentyΛ−1.
Wnotacjitensorowejzwiązekmiędzyczterowektoramikowariantnymiakontra-
wariantnymiwszczególnejteoriiwzględnościmożnawyrazićjako
xP=gPvx
v,
gdziesumowaniepowtarzającychsięindeksówjestponowniedomniemane,adia-
gonalnytensormetrycznygμνjestdefiniowanyjako
gPv≡
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
1
O–1
O
O
O
O–1
O
O
O
O–1
O
O
O
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
.
(2.10)
Zdefinicji,jedyniewielkościowłasnościachtransformacjiLorentza(2.4)są
zapisywanejakokontrawariantneczterowektory.Dlatakiegozbioruwielkościaμ
jestpewne,żeiloczynskalarnyzodpowiadającymkowariantymczterowektorem
aμbędzieniezmienniczywzględemtransformacjiLorentza.Ponadto,jeśliaμibμsą
(kontrawariantnymi)czterowektorami,toiloczynskalarny
aPbP=aPbP=gPvaPbv,
jestautomatycznieniezmienniczywzględemtransformacjiLorentza.Ponownie
wynikatobezpośredniozpostacitransformacjiLorentzadlaczterowektorówkon-
trawariantnychikowariantnych.Zatemdlakażdegowyrażenia,któremożnazapi-
saćwpostaciiloczynówskalarnychczterowektorów,jestpewne,żebędzieononie-
zmienniczewzględemtransformacjiLorentza.ZliniowościtransformacjiLorentza
wynikarównież,żesumadowolnejliczbykontrawariantnychczterowektorówrów-
nieżprzekształcasięzgodniez(2.4),azatemsamajestczterowektorem.
Czteropęd
Wyrażeniarelatywistycznenaenergięipędcząstkiomasiemmożnazapisaćodpowied-
niojakoE=γmc2orazp=γmv,którewyrażonewjednostkachnaturalnychwynoszą
E=,m
oraz
p=,mβ.
(2.11)
