Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
A.I.Kostrikin,Wst
ę
pdoalgebry.Podstawyalgebry,Warszawa2008
ISBN978-83-01-14252-0,©byWNPWN2004
§3.UKŁADYRÓWNAŃLINIOWYCH.PIERWSZEKROKI
15
niewiadomesągłówne,tonapodstawietwierdzenia3sąoneprzezukładwyzna-
czonejednoznacznie,awięcukładjestoznaczony.Pozostajezauważyć,żebrak
wolnychniewiadomychjestrównoznacznyzwarunkiemT=n.Udowodniliśmy
TWIERDZENIE4.Niesprzecznyukładliniowy(2)jestoznaczonywtedyitylko
wtedy,gdyposprowadzeniugodopostacischodkowej(4)zachodzirówność
T=n.
Dlam=nukładliniowysprowadzonydopostacischodkowejmożnazapisać
równieżnastępująco(postaćtrójkątna):
a11x1+a12x2+...+a1nxn=b1j
a22x2+...+a2nxn=b2j
........................
annxn=bnj
(5)
jeślizrezygnujemyzżądania,byażż/=0dlawszystkichź.Istotnie,zapis(5)
oznacza,żek-terównanieukładuniezawieraniewiadomychxżdlaź<k,aukłady
opostacischodkowejmająoczywiścietęwłasność.
Odnotujmyjeszcze,żemacierzkwadratową(ażj)zażj=0dlaź>jnazywamy
górnotrójkątną;analogiczniedefiniujesięmacierzdolnotrójkątną.
Ztwierdzeń3i4wynika
WNIOSEK1.Układliniowy(2)przym=njestniesprzecznyioznaczonywtedy
itylkowtedy,gdyposprowadzeniugodopostacischodkowejotrzymujemyukład
(5)za11a22...ann/=0.
Zwracamyuwagę,żewarunektenniezależyodprawychstronukładu.Wynika
stąd,żedlam=nukład(2)jestniesprzecznyioznaczonywtedyitylkowtedy,
gdytosamomamiejscedlaodpowiadającegomuukładujednorodnego(2!).Ale
układjednorodnyjestzawszeniesprzeczny:manaprzykładrozwiązaniezerowe
^
x1=0j...j^
xn=0.
Waruneka11a22...ann/=0oznacza,żeukładjednorodnymawyłącznieto
zerowerozwiązanie.Pozwalatosformułowaćwniosek1wsposóbniezależnyod
postacischodkowej:
WNIOSEK1!.Układliniowy(2)zm=njestniesprzecznyioznaczonywtedy
itylkowtedy,gdyodpowiadającymuukładjednorodnymatylkorozwiązanieze-
rowe.
Naszczególnąuwagęzasługujeprzypadekn>m.
WNIOSEK2.Niesprzecznyukład(2)zn>mjestzawszenieoznaczony.
Wszczególnościukładjednorodnyzn>mmazawszerozwiązanieniezerowe.
