Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
10
ROZDZIAŁ1.
1∈A,to2∈A;skoro2∈A,to3∈A;itd.Własnośćtęnazywamy
zasadąindukcjimatematycznej.Zasadaindukcjimatematycznejwyrażasię
więcnastępującymzdaniem)
∀A⊂N[(1∈Ai∀n(n∈A⇒n+1∈A))⇒A=N].
Wzdaniutymfragmentn∈Anazywamyzałożeniemindukcyjnym,afragż
mentn+1∈Ateząindukcyjną.Zasadęindukcjimatematycznejstosujemy
dodowodzeniatwierdzeńpostaci)
∀n∈Nϕ(n),
gdzieϕ(n)oznaczapewnąwłasnośćliczbyn.WdowodzieokreślamyAjako
zbiórtychwszystkichliczbnaturalnych,któremająwłasnośćϕ)
A:={n∈N:ϕ(n)}.
Pierwszykrokdowoduindukcyjnegopoleganawykazaniu,że
1∈A.
Wdrugimkrokudladowolnegonpiszemyzałożenieindukcyjne)
(z.ind.)n∈A
itezęindukcyjną)
(t.ind.)n+1∈A,
anastępniekorzystajączzałożeniaindukcyjnego,dowodzimytezęindukż
cyjną.Jeślidladowolnegondowódtensiępowiedzie,tozzasadyindukcji
matematycznejbędziewynikać,żeAjestzbioremwszystkichliczbnaturalż
nych.RównośćA=Noznacza,żedlakażdejliczbynaturalnejnzachodzi
ϕ(n),cozakończydowód.
Dlaprzykładuudowodnimymetodąindukcjimatematycznej
Twierdzenie1.1∀n∈N1+2+...+n=
(n+1)n
2
.
Polewejstronierównościwpowyższymtwierdzeniuzapisaliśmysumękolejż
nychliczbnaturalnychod1don.
Dowód.Określamyzbiór
A:={n∈N:1+2+...+n=(n
+1)n
2
}.
