Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
2.1.Stanyustalone
29
cuwiększośćrozwiązań(zależnegoodczasu)równaniaSchrödingeranieprzyjmujeformy
w(x)φ(t).Podajętrzyodpowiedzi:dwiefizyczneijednąmatematyczną.
1.Rozwiązaniasąstanamiustalonymi.Aczkolwieksamafunkcjafalowa,
(2.7)
zależy(oczywiście)odt,agęstośćprawdopodobieństwa,
(2.8)
niezależyodt,coznosizależnośćczasową4.Tosamodziejesięprzyobliczaniu
wartościoczekiwanejdowolnejzmiennejdynamicznej.Równanie(1.36)upraszcza
siędo:
dx
d
dx
(2.9)
Każdawartośćoczekiwanajeststaławczasie.Równiedobrzemożemycałkowicie
opuścićczynnikφ(t)ipoprostuużyćwzamiast?.(Rzeczywiście,częstookreśla
sięwjako„funkcjęfalową”,jesttojednaktonieprecyzyjneimożebyćniebez-
pieczne.Należypamiętać,żeprawdziwafunkcjafalowazawszezawieraczynnik
pulsowaniazależnyodczasu.)Wszczególności(x)jeststałe,azatem(p)=0(rów-
nanie(1.33)).Nicniedziejesięwstanieustalonym.
2.Rozwiązaniasąstanamiokreślonejenergiicałkowitej.Wmechaniceklasycznej
energiacałkowita(kinetycznapluspotencjalna)nazywasięhamiltonianem:
(2.10)
Odpowiednioperatorhamiltonowski,otrzymanyprzezpodstawieniekanoniczne
pą-iħ(I/Ix),wynosizatem:5
(2.11)
WobectegoniezależneodczasurównanieSchrödingera(równanie(2.5))można
zapisaćjako:
(2.12)
awartośćoczekiwanaenergiicałkowitejwynosi:
dx
dx
dx
(2.13)
(Zauważ,żenormalizacja?pociągazasobąnormalizacjęw).Ponadto:
4
WprzypadkurozwiązańunormowanychEmusibyćrzeczywiste(zobaczzadanie2.1(a)).
5
Ilekroćmożetobyćdezorientujące,nadoperatoremumieszczonyzostał„daszek”(ˆ),wceluodróżnienia
goodzmiennejdynamicznej,którąreprezentuje.
