Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
34
2.NiezależneodczasurównanieSchrödingera
Pozastudniąw(x)=0(prawdopodobieństwoznalezieniatamcząstkijestrównezeru).
Wewnątrzstudni,gdzieV=0,niezależneodczasurównanieSchrödingera(równanie(2.5))
mapostać:
d
dx
(2.23)
lub
d
dx
gdzie
(2.24)
(Zapisująctowtensposób,milczącozałożyłem,żeE≥0.Wiemyzzadania2.2,żeE<0nie
zadziała).Równanie(2.24)jestklasycznymrównaniemprostegooscylatoraharmoniczne-
go,któregoogólnerozwiązaniejestpostaci:
(2.25)
gdzieAiBtodowolnestałe.Zwyklestałetewynikajązwarunkówbrzegowychdlada-
negoproblemu.Jakiesąodpowiedniewarunkibrzegowedlaw(x)?Zwyklezarównow,jak
idw/dxsąciągłe11,aletam,gdziepotencjałdążydonieskończoności,tylkowjestciągła.
(WyjaśnienietychwarunkówbrzegowychiuwzględnieniewyjątkudlaV=∞przedstawię
wpodrozdziale2.5.Naraziemamnadzieję,żemizaufasz.)
Ciągłośćw(x)wymagaby:
(2.26)
żebydołączyćdorozwiązaniapozastudnią.CotonammówioAiB?Otóż
dlategoB=0,azatem:
(2.27)
Wtedyw(a)=Asinka,więcalboA=0(wtakimprzypadkupozostajenamtrywialne,nie-
normowalnerozwiązaniew(x)=0),albosinka=0,cooznacza,że:
π
π
π
(2.28)
Jednakk=0niejestdobre(ponownieimplikowałobytow(x)=0),arozwiązaniaujemnenie
wnosząnicnowego,ponieważsin(-θ)=-sin(θ)imożemywłączyćznakminusdostałejA.
Takwięcróżnerozwiązaniasąnastępujące:
π
dla
(2.29)
Cociekawe,warunekbrzegowydlax=anieokreślastałejA,aleraczejstałąk,azatem
możliwewartościEwynoszą:
π
11
Zgadzasię:w(x)jestciągłąfunkcjąx,chociaż?(x,t)niemusi.
(2.30)
