Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
8
2.Metodyrozwiązywaniaukładurównańliniowych…
J
[]
x
=A
x
−
b
2
+
α
x
2
(2.4)
∂
J
∂
[]
x
x
=
(
A
T
A
+
α
I
)
x
A
T
b
=
0
(2.5)
x
α
=
(
A
T
A
+
α
I
)
1
A
T
b
(2.6)
Dla
α
→0rozwiązanie(2.6)dążydorozwiązaniadokładnegox
+.Parametrre-
gularyzacji
α
mawpływnarozwiązanieukładurównań(2.1).Ponieważwektor
bjestnieznany(znanyjestwektorb
δ
)9zatemrozwiązanie(2.6)jestnastępujące:
x
α
δ
=
(
A
T
A
+
α
I
)
1
A
T
b
δ
(2.7)
Rozwiązanie(2.7)dążydorozwiązaniadokładnegox
+9gdy
δ
→0i
α
→0.
Parametr
α
powinienbyćtakdobrany9abyrozwiązanie(2.7)spełniałoten
warunek9cooznacza9że
α
musizależećod
δ
(
α
(
δ
)).Jednymzesposobówwy-
znaczeniaparametru
α
wcelurozwiązaniaukładurównań(2.7)spełniających
tenwarunekwynikazewzorów(2.1)9(2.3):
A
x
−
b
δ
2
=
b
δ
−
b
2
≤
δ
2
Parametr
α
wyznaczasięzrównania:
A
x
α
δ
−b
δ
2
=
δ
2
(2.8)
(2.9)
(zasadaMorozowa-ang.discrepancyprinciple).Zewzoru(2.9)wynika9że:
α
δ
lim
→
→
0
0
x
α
δ
=x
+
(2.10)
Równanie(2.9)możnarozwiązaćmetodąNewtona.Wtymcelunależyzróż-
niczkowaćtorównanieorazwyznaczyćpochodnąwektorax(2.7)względem
parametru
α
:
∂
⎛
⎜
⎝
A
x
δ
α
−
∂
b
α
δ
2
−
δ
2
⎞
⎟
⎠
=
2
(
A
x
&
α
δ
)(
T
A
x
α
δ
−
b
δ
)
Pochodnawektoraxwynikazróżniczkowaniawzoru(2.5):
(
A
T
A
+
α
I
)
x
&
α
δ
=
−
x
α
δ
x
&
α
δ
=
−
(
A
T
A
+
α
I
)
−
1
x
α
δ
(2.11)
(2.12)
(2.13)
