Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
10
1.Modelowanieianalizaubezpieczeńwielostanowych–podejściemacierzowe
czeniapodstawowegowrazzumowamiubezpieczeńdodatkowych.Następnieokre-
ślanesąwszystkiemożliweprzebiegiubezpieczenia.Wtymceluwprowadzasiętzw.
modelwielostanowyiokreślasięnanimstrukturęprobabilistyczną.Drugietap
związanyjestzopisemianaliząprzepływówpieniężnychwynikającychzrealizacji
umowyubezpieczeniaimaistotnywpływnakońcowąpostaćmodeluwielostano-
wego.Modelowanietojestintensywnieużywanedokalkulacjiskładek,rezerw
izysków,międzyinnymiwprzypadkuubezpieczeńnażycie,zdrowotnych,odcięż-
kichchoróbiodryzykautratypracy.
Niniejszyrozdziałmacharakterprzeglądowyijestpoświęconymodelowaniu
ubezpieczeńwielostanowychzfinansowegopunktuwidzenia.Wskazanownim
problemypojawiającesiępodczastegoprocesuorazsposobyichrozwiązywania.
Wszczególnościomówionazostałakoncepcjazmodyfikowanegomodeluwielosta-
nowego,któryumożliwiawprowadzeniezapisumacierzowegoniezbędnychwielko-
ściaktuarialnych.Przedstawionazostałarównieżanalizaubezpieczeńzdrowotnych,
ilustrującaprzydatnośćzapisumacierzowegojakoelastycznegonarzędziaułatwiają-
cegointerpretacjęorazaplikacjęteoriiwprzypadkuobliczeńnumerycznych.
1.2.
Modelowanieubezpieczeńwielostanowych
Wteoriiubezpieczeńwielostanowychkażdemuprzypadkowiżyciowemu,którego
dotyczyumowaubezpieczenia(np.śmierćubezpieczonego,utratapracy,choroba),
odpowiadastan,wjakimznalazłsięubezpieczony(np.[Dębicka2012b;Haberman,
Pitacco1999;Ostasiewicz(red.)2004]).Zbiórwszystkichmożliwychstanównazy-
wasięprzestrzeniąstanówioznaczasięprzez
S
=
{
1,2,...,
N
}
.Ponadtopara
(j
i
,
)
,
gdzie
i≠
j
oraz
i
,
j
∈
S
,oznaczabezpośrednieprzejściezestanuidostanuj.Na-
tomiastTjestzbioremwszystkichmożliwychbezpośrednichprzejśćmiędzystanami.
Para
(T
S
,
)
nazywanajestmodelemwielostanowym.
Zewzględunazastosowaniawpraktycerozważanybędziemodeldyskretny,
wktórympłatnościubezpieczeniowesąrealizowanenakońcujednostekczasu,na
jakizostałpodzielonyokresubezpieczenia.
Niechdladanejumowyubezpieczenia,reprezentowanejprzezmodelwielosta-
nowy
(
ST
,
)
,funkcja𝑋(𝑡)=𝑖𝜖𝑆oznacza,żewchwilit(będącejczasem,jaki
upłynąłodrozpoczęciaumowyubezpieczenia)ubezpieczonegodotyczyprzypadek
życiowy,któremuzostałprzypisanystani.Przyjmujesię,że{𝑋(𝑡):𝑡=0l1l2l…}
jestprocesemstochastycznymprzyjmującymwartościzeskończonejprzestrzeni
stanów
S
.
Zakładamy,żewjednejjednostceczasuproces
{
Xt
()
}
możezmienićstantylko
jedenraz(możezajśćtylkojednozdarzenielosowe).Ponadtoumowaubezpieczenia
jestzawartawchwili0nanjednostekczasu,nzaśjestokresemubezpieczenia.Stan
oznaczonynumerem1oznaczastanpoczątkowy,tzn.
X
(0)1
=
.
