Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
20
Funkcjezmiennejzespolonej
–równaniafizykiopochodnychcząstkowych.Konsekwencjetegofaktubędziemy
mieliokazjęprzedyskutowaćwpodrozdzialepoświęconymodwzorowaniomkonfo-
remnym.
Aletojeszczeniewszystko.Przypuśćmy,żeznamyczęśćrzeczywistą
u(xjy)=y3−3x2y=l[f(x)]analitycznejfunkcjif(x):
∂u
∂x
=−6xy
C1R
=
∂v
∂y
.
Możemywięcobliczyć
v(xjy)=/
y
(−6xy/)dy/=−3xy2+C(x)j
gdzie–zewzględunato,żecałkowaliśmywzględemzmiennejy–stałacałkowa-
niamożezależeć(izależy!)odx.Tęzależnośćznajdziemy,wykorzystującdrugi
zwarunkówCauchy’ego-Riemanna
∂x
∂v
=−
∂u
∂y
→
−3y2+C/(x)=−3y2+3x2j
gdzieznakn/”oznaczaróżniczkowaniewzględemzmiennejx.Wykonującteraz
odpowiedniecałkowanie(względemzmiennejx),dostaniemy
C/(x)=3x2→C(x)=x3+C.
Częśćurojonaf(xjy)będziewięcrówna
v(xjy)=−3xy2+x3+Cj
asamafunkcja
f(z)=y3−3x2y+i(−3xy2+x3)+iC=...=i(z3+C).
Pokazaliśmywięc,żeznającjednązczęścifunkcjianalitycznej,znamytakżeidru-
gą,zdokładnościądostałejaddytywnejC.
Własnościfunkcjianalitycznychmożemyprzedstawićwpostacikrótkiegopod-
sumowania:
1.Funkcjaw=f(z)jestróżniczkowalnawpunkciez=zo,jeżeliistniejegranica
f
/(z)=lim
∆z→o
∆f
∆z
=lim
∆z→o
∆u+i∆v
∆z
j
(1.31)
niezależnaodsposobuzmierzaniaz∆zdozera,albo–kładąc∆f=f(z)−
f(zo)i∆z=z−zo–zezmiennązdozo.
