Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
(1.25)
Istnieniepierwiastkówzespolonychparamisprzężonychjestcharakterys-
tycznedlaogólnegorównaniawielomianowegostopnia
owspółczyn-
nikachrzeczywistychpostaci
Mamywówczas:
cowynikazwłasnościzachowaniadziałaniadodawania,mnożenia,potęgowa-
niaprzezoperacjęsprzężeniaiztego,że
,
(porównaj(1.7),(1.8)):
Zachodzizatemnastępującetwierdzenie.
Twierdzenie1.4(opierwiastkachzespolonychwielomianurzeczywiste-
go).Pierwiastkinierzeczywiste(zespolone)wielomianuowspółczynnikach
rzeczywistychtworząparyliczbzespolonychsprzężonych.
Każdejtakiejparze
,
odpowiadawrozkładziewielomianu
iloczyn
któryjesttrójmianemkwadratowymowspółczynnikachrzeczywistychidelcie
ujemnej.Wynikastąd,żekażdywielomian
owspółczynnikachrzeczywi-
stychrozkładasięwcieleliczbrzeczywistychnaczynnikiliniowetypu
,
lubczynnikikwadratowetypu
zdeltąujemną,tj.warun-
kiem
(ogólniej,wpostaciichpotęgwprzypadkupierwiastków
wielokrotnych).Gdy
jestliczbąnieparzystą,wtedyistniejeprzynajmniej
jedenpierwiastekrzeczywistytegowielomianu.
Odnotujmynakoniecrozwiązanierównaniapotęgowegostopnia
wdziedziniezespolonej,dlaktóregoznamywszystkiepierwiastki,polegające
napierwiastkowaniuliczbyzespolonej
:
(1.26)
17
