Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
4
ZADANIA•1.GRANICAICIĄGŁOŚĆFUNKCJI
1.1.7.Znaleźćlim
nikach.
x→∞
[P(x)]
P([x])
,gdzieP(x)jestwielomianemododatnichwspółczyn-
1.1.8.Podaćprzykładfunkcjif,dlaktórej
(∗)
x→o
lim
(f(x)+f(2x))=0,
agranicalim
x→o
f(x)nieistnieje.Udowodnić,żejeślif:R→Rspełniawarunek
f(x)≥ϕ(x)wpewnymnakłutymotoczeniuzerailim
x→o
ϕ(x)=0,tozrówności
(∗)wynika,żelim
x→o
f(x)=0.
1.1.9.
(a)Podaćprzykładfunkcjif,dlaktórej
(∗)
x→o
lim
(f(x)f(2x))=0,
agranicalim
x→o
f(x)nieistnieje.
(b)Udowodnić,żejeślifunkcjaf:R→Rspełniawpewnymnakłutymotocze-
niuzerawarunkif(x)≥|x|α,1/2<α<1,orazf(x)f(2x)≤|x|,tozrówności
(∗)wynika,żelim
x→o
f(x)=0.
1.1.10.Niechαbędzieustalonąliczbąrzeczywistąiniechf:R→Rbędzietaką
funkcją,żedlakażdegoa>0istniejegranicalim
x→∞
f(ax)
xα
iniechg(a)oznacza
jejwartość.Wykazać,żeistniejetakastałac,żeg(a)=caαdlaa>0.
1.1.11.Niechf:R→Rbędziefunkcjąmonotonicznąitaką,dlaktórej
x→∞
lim
f(2x)
f(x)
=1.Udowodnić,żelim
x→∞
f(cx)
f(x)
=1dlakażdegoc>0.
1.1.12.Wykazać,żejeślia>1orazk>0,to
(a)lim
x→∞
ax
x
=+∞,
(b)lim
x→∞
ax
xk
=+∞.
1.1.13.Wykazać,żejeślik>0,tolim
x→∞
lnx
xk
=0.
1.1.14.Wykazać,żelim
ax=1,gdziea>0.Udowodnić,żewynikastądciągłość
x→o
funkcjiwykładniczejwkażdympunkciexo∈R.
1.1.15.Udowodnić,że
(a)lim
x→∞(1+
x)
1
x
=e,
(c)lim
x→o
(1+x)
x=e.
1
(b)
x→-∞(1+
lim
1
x)
x
=e,
1.1.16.Wykazać,żelim
x→o
ln(1+x)=0.Udowodnić,żewynikastądciągłość
funkcjilogarytmicznejwkażdympunkciexo>0.
