Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
6
ZADANIA•1.GRANICAICIĄGŁOŚĆFUNKCJI
1.1.25.Niechf:[0,+∞)→Rbędzietakąfunkcją,żedlakażdegoa>0gra-
nicalim
n→∞
f(an)istniejeijestrównazero.Czywynikastąd,żeistniejegranica
x→∞
lim
f(x)?
1.1.26.Funkcjaf:[0,+∞)→Rjesttaka,żedlakażdegoa≥0orazdlakażdego
b>0granicalim
n→∞
f(a+bn)=0.Czywynikastąd,żeistniejegranicalim
x→∞
f(x)?
1.1.27.Załóżmy,żefjestfunkcjąokreślonąwpewnymnakłutymotoczeniuzera
spełniającąwarunkilim
x→o
f(x)=0orazlim
x→o
f(2x)−f(x)
x
=0.Wykazać,żewtedy
x→o
lim
f(x)
x
=0.
1.1.28.Niechfbędziefunkcjąokreślonąwprzedziale(a,+∞)iograniczonąna
każdymprzedzialeskończonym(a,b),a<b.Udowodnić,żejeśliistniejegranica
x→+∞
lim
(f(x+1)−f(x)),toistniejegranicalim
x→+∞
f(x)
x
i
x→+∞
lim
(f(x+1)−f(x))=lim
x→+∞
f(x)
x
.
1.1.29.Niechfbędziefunkcjąokreślonąwprzedziale(a,+∞)iograniczonąz
dołunakażdymprzedzialeskończonym(a,b),a<b,iniechlim
x→+∞
(f(x+1)−
f(x))=+∞.Udowodnić,żelim
x→+∞
f(x)
x
=+∞.
1.1.30.Niechfbędziefunkcjąokreślonąwprzedziale(a,+∞)iograniczoną
nakażdymprzedzialeskończonym(a,b),a<b.Załóżmy,żeistniejegranica
x→+∞
lim
f(x+1)−f(x)
xk
,k=0,1,2,...(skończonalubnieskończona).Wykazać,
że
x→+∞
lim
xk+1
f(x)
=
k+1
1
x→+∞
lim
f(x+1)−f(x)
xk
.
1.1.31.Niechfbędziefunkcjąokreślonąwprzedziale(a,+∞)iograniczonąna
każdymprzedzialeskończonym(a,b),a<b,oraztaką,żef(x)≥c>0dla
wszystkichx∈(a,+∞).Wykazać,żejeśliistniejegranica
x→+∞
lim
f(x+1)
f(x)
,to
istniejerównieżgranicalim
(f(x))1/xiobietegranicesąrówne.
x→+∞
1.1.32.Załóżmy,żelim
x→o
f([
x]
1
-1)=0.Czywynikastądistnieniegranicy
x→o
lim
f(x)?
1.1.33.Niechf:R→Rbędziefunkcjątaką,żelim
n→∞
f(
n)=0dlakażdego
a
a∈R.Czywynikastądistnieniegranicyfunkcjifwzerze?
