Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
10
ZADANIA•1.GRANICAICIĄGŁOŚĆFUNKCJI
1.2.15.Niechfbędziefunkcjąokreślonąiograniczonąnaprzedziale[a,b].Wy-
kazać,żefunkcje
m(x)=inf{f(Ć):Ć∈[a,x)}
i
M(x)=sup{f(Ć):Ć∈[a,x)}
sąlewostronnieciągłena(a,b).
1.2.16.Czyprzyzałożeniachpoprzedniegozadaniafunkcje
m⋆(x)=inf{f(Ć):Ć∈[a,x]}iM⋆(x)=sup{f(Ć):Ć∈[a,x]}
sąlewostronnieciągłena(a,b)?
1.2.17.Niechfbędziefunkcjąciągłąnaprzedziale[a,∞).Załóżmyponadto,że
istniejeskończonagranicalim
x→∞
f(x).Wykazać,żefjestograniczonanatym
przedziale.
1.2.18.NiechfbędziefunkcjąciągłąnaRiniech{xn}będziedowolnymcią-
giemograniczonymliczbrzeczywistych.Czyprawdziwesąwtedynastępujące
równości:
n→∞
lim
f(xn)=f(lim
n→∞
xn),
n→∞
lim
f(xn)=f(lim
n→∞
xn)?
1.2.19.NiechfbędziefunkcjąrosnącąiciągłąnaRiniech{xn}będziedowol-
nymciągiemograniczonymliczbrzeczywistych.Wykazać,że
(a)lim
n→∞
f(xn)=f(lim
n→∞
xn),
(b)lim
n→∞
f(xn)=f(lim
n→∞
xn).
1.2.20.NiechfbędziefunkcjąmalejącąiciągłąnaRiniech{xn}będziedowol-
nymciągiemograniczonymliczbrzeczywistych.Udowodnić,żewtedy
(a)lim
n→∞
f(xn)=f(lim
n→∞
xn),
(b)lim
n→∞
f(xn)=f(lim
n→∞
xn).
1.2.21.Niechf:R→Rbędzietakąfunkcjąciągłą,że
x→-∞
lim
f(x)=−∞oraz
x→∞
lim
f(x)=+∞,iniechgbędziefunkcjąokreślonąwzorem:
g(x)=sup{t:f(t)<x}
dla
x∈R.
(a)Wykazać,żefunkcjagjestlewostronnieciągła.
(b)Zbadać,czygjestfunkcjąciągłą.
1.2.22.Niechf:R→Rbędziefunkcjąciągłąmającądwaniewspółmierne
okresyT1,T2(tzn.T1/T2jestliczbąniewymierną).Wykazać,żefjestfunkcją
stałą.Podaćprzykładfunkcjiokresowejróżnejodstałejmającejdwaniewspół-
mierneokresy.
1.2.23.
(a)Wykazać,żefunkcjaf:R→Rokresowa,ciągłairóżnaodstałejmami-
nimalnyokresdodatni,czylitzw.okrespodstawowy.
