Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.2.WŁASNOŚCIFUNKCJICIĄGŁYCH
1.2.7.Wykazać,żefunkcjaokreślonawzorem
f(x)=[x]+(x−[x])[x]
dla
x≥
1
2
jestciągłaiwprzedziale[1,∞)jestfunkcjąściślerosnącą.
9
1.2.8.Zbadaćciągłośćnastępującychfunkcjiinaszkicowaćichwykresy:
(a)f(x)=lim
n→∞
nx−n-x
nx+n-x
,x∈R,
(b)f(x)=lim
n→∞
x2enx+x
enx+1
,x∈R,
(c)f(x)=lim
n→∞
ln(en+xn)
n
,x≥0,
(d)f(x)=lim
n→∞
4n+x2n+
n
x2n
1
,x/=0,
(e)f(x)=lim
n→∞
2n
cos2nx+sin2nx,x∈R.
1.2.9.Niechf:R→Rbędziefunkcjąciągłąiokresową.Wykazać,żefosiąga
swojekresynaR,tzn.istniejątakiex⋆∈Rorazx⋆∈R,że
f(x)≥f(x⋆)
i
f(x)≤f(x⋆)
dlawszystkichx∈R.
1.2.10.Niechdanybędziewielomianpostaci
P(x)=x2n+a2n-1x2n-1+...+a1x+ao.
Udowodnić,żeistniejetakiex⋆∈R,żeP(x⋆)=inf{P(x):x∈R}.Wykazać
ponadto,żedladowolnegowielomianuPistniejetakiex⋆∈R,że|P(x⋆)|=
inf{|P(x)|:x∈R}.
1.2.11.
(a)Podaćprzykładfunkcjiograniczonejnaprzedziale[0,1],któranieosiąga
aniswojegokresudolnegoanigórnego.
(b)Podaćprzykładfunkcjiograniczonejnaprzedziale[0,1],któranażadnym
przedziale[a,b]⊂[0,1],a<b,nieosiągaswojegokresudolnego.
1.2.12.Niechdlaf:R→Rixo∈Rorazδ>0
ωf(xo,δ)=sup{|f(x)−f(xo)|:x∈R,|x−xo|<δ}
iniechωf(xo)=lim
δ→o+
ωf(xo,δ).Wykazać,żefunkcjafjestciągławpunkcie
xowtedyitylkowtedy,gdyωf(xo)=0.
1.2.13.
(a)Niechf,g∈C([a,b])iniechh(x)=min{f(x),g(x)}orazH(x)=
max{f(x),g(x)}dlax∈[a,b].Udowodnić,żerównieżh,H∈C([a,b]).
(b)Niechf1,f2,f3∈C([a,b])iniechf(x)oznaczatęztrzechliczbf1(x),f2(x),
f3(x),którależypomiędzydwiemapozostałymi.Udowodnić,żef∈C([a,b]).
1.2.14.Wykazać,żejeślif∈C([a,b]),tofunkcje
m(x)=inf{f(Ć):Ć∈[a,x]}
i
M(x)=sup{f(Ć):Ć∈[a,x]}
sąrównieżciągłena[a,b].
