Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.2.WŁASNOŚCIFUNKCJICIĄGŁYCH
11
(b)Podaćprzykładfunkcjiokresowejróżnejodstałejniemającejminimalnego
okresudodatniego.
(c)Udowodnić,żejeślifunkcjaokresowaf:R→Rniemaokresupodstawo-
wego,tozbiórokresówfunkcjifjestgęstywR.
1.2.24.
(a)Udowodnić,żetwierdzeniezczęści(a)poprzedniegozadaniapozostaje
prawdziwe,jeślizałożenieciągłościfunkcjifnaRzastąpimyzałożeniemciąg-
łościfwjakimśpunkcie.
(b)Wykazać,żejeślifunkcjaokresowaf:R→Rniemaokresupodstawowego
ijestciągławprzynajmniejjednympunkcie,tojestfunkcjąstałą.
1.2.25.Niechf,g:R→Rbędąciągłymifunkcjamiokresowymispełniającymi
waruneklim
x→∞
(f(x)−g(x))=0.Wykazać,żef=g.
1.2.26.Podaćprzykładtakichdwóchfunkcjif,gokresowych,żeżadenokres
funkcjifniejestwspółmiernyzżadnymokresemfunkcjig,iktórychsuma
(a)niejestfunkcjąokresową,
(b)jestfunkcjąokresową.
1.2.27.Niechf,g:R→Rbędąfunkcjamiciągłymi,okresowymiododatnich
okresachpodstawowych(patrzzadanie1.2.23)równychodpowiednioT1,T2.
Wykazać,żejeśliT1/T2/∈Q,tofunkcjah=f+gniejestokresowa.
1.2.28.Wykazać,żetwierdzeniezpoprzedniegozadaniapozostajeprawdziwe
przyzałożeniu,żetylkojednazfunkcjijestciągła,przyczymżadenzokresów
funkcjinieciągłejniejestwspółmiernyzokresempodstawowymfunkcjiciągłej.
1.2.29.Wykazać,żezbiórpunktównieciągłościfunkcjimonotonicznejf:R→R
jestzbioremprzeliczalnym.
1.2.30.Niechfbędziefunkcjąciągłąwprzedziale[0,1].Udowodnić,że
n→∞
lim
n
1
k=1
Σ
n
(−1)kf(
n)=0.
k
1.2.31.Niechfbędziefunkcjąciągłąwprzedziale[0,1].Udowodnić,że
n→∞
lim
2n
1
k=o
Σ
n
(−1)k(
n
k)f(k
n)=0.
1.2.32.Niechf:(0,∞)→Rbędziefunkcjąciągłąspełniającąwarunekf(x)≤
f(nx)dlawszystkichdodatnichrzeczywistychxoraznaturalnychn.Udowod-
nić,żeistniejeskończonalubnieskończonagranicalim
x→∞
f(x).
1.2.33.FunkcjęrzeczywistąfokreślonąnaprzedzialeI⊂Rnazywamyfunk-
cjąwypukłą,jeślidladowolnychx1,x2∈Iorazλ∈(0,1)spełnionajest
