Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.3.WŁASNOŚĆDARBOUX
13
1.3.7.
(a)
Wykazać,żerównanie(1−x)cosx=sinx
marozwiązaniewprzedziale
(0,1).
(b)NiechPbędziewielomianemniezerowym.Wykazać,żerównanie
|P(x)|=ex
maconajmniejjedenpierwiastekrzeczywisty.
1.3.8.Niechao<bo<a1<b1<...<an<bnbędąustalonymiliczbami
rzeczywistymi.Udowodnić,żewszystkiepierwiastkiwielomianu
n
n
P(x)=
Π
(x+ak)+2
Π
(x+bk),
x∈R,
k=o
k=o
sąliczbamirzeczywistymi.
1.3.9.Załóżmy,żefunkcjefigmająwłasnośćDarbouxnaprzedziale[a,b].Czy
funkcjaf+gmusimiećwłasnośćDarboux?
1.3.10.Niechf∈C([0,2])będziefunkcjąspełniającąwarunekf(0)=f(2).
Wykazać,żeistniejątakiepunktyx1,x2∈[0,2],że
x2−x1=1
oraz
f(x2)=f(x1).
Podaćinterpretacjęgeometrycznątegofaktu.
1.3.11.Niechf∈C([0,2]).Wykazać,żeistniejątakiepunktyx1,x2∈[0,2],że
x2−x1=1
oraz
f(x2)−f(x1)=
1
2
(f(2)−f(0)).
1.3.12.Niechn∈Niniechf∈C([0,n]).Załóżmyponadto,żef(0)=f(n).
Wykazać,żeistniejątakiepunktyx1,x2∈[0,n],że
x2−x1=1
oraz
f(x2)=f(x1).
1.3.13Załóżmy,żefjestfunkcjąciągłąnaprzedziale[0,n],n∈N,taką,że
f(0)=f(n).Wykazać,żedlak∈{1,2,...,n−1}istniejątakiexkix!
k,
żef(xk)=f(x!
k),przyczymxk−x!
k=klubxk−x!
k=n−k.Czyprzy
powyższychzałożeniachdlakażdegok∈{1,2,...,n−1}istniejątakiexkix!
k,
żef(xk)=f(x!
k)ixk−x!
k=k?
1.3.14.Niechn∈Niniechf∈C([0,n]).Załóżmyponadto,żef(0)=f(n).
Wykazać,żerównanief(x)=f(y)maconajmniejnrozwiązańtakich,żex−y
jestliczbąnaturalną.
1.3.15.Załóżmy,żefunkcjeciągłef,g:R→Rkomutują,tzn.f(g(x))=g(f(x))
dlax∈R.Udowodnić,żejeślirównanief2(x)=g2(x)marozwiązanie,totakże
równanief(x)=g(x)marozwiązanie(gdzief2(x)=f(f(x)),g2(x)=g(g(x))).
Podaćprzykładświadczącyotym,żezałożenieciągłościfunkcjif,gniemoże
byćopuszczone.
