Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.4.FUNKCJERZECZYWISTEPÓŁCIĄGŁE
17
1.4.6.Załóżmy,żef:A→RiżexojestpunktemskupieniazbioruA.Udowod-
nić,że
x→xo
lim
(−f(x))=−lim
x→xo
f(x),
x→xo
lim
(−f(x))=−lim
x→xo
f(x).
1.4.7.Załóżmy,żef:A→(0,∞)iżexojestpunktemskupieniazbioruA.
Wykazać,że
x→xo
lim
f(x)
1
=
x→xo
lim
1
f(x)
,
x→xo
lim
f(x)
1
=
x→xo
lim
1
f(x)
.
(Przyjmujemy,że
+∞
1
=0,
0+
1
=+∞).
1.4.8.Załóżmy,żef,g:A→RiżexojestpunktemskupieniazbioruA.Udo-
wodnić,że(wyłączającniejednoznacznościtypu+∞−∞,−∞+∞)prawdziwe
sąnastępującenierówności
x→xo
lim
f(x)+lim
x→xo
g(x)≤lim
x→xo
(f(x)+g(x))≤lim
x→xo
f(x)+lim
x→xo
g(x)
≤lim
x→xo
(f(x)+g(x))≤lim
x→xo
f(x)+lim
x→xo
g(x).
Podaćprzykładyświadcząceotym,żepowyższenierównościmogąbyćostre.
1.4.9.Załóżmy,żef:A→[0,∞)iżexojestpunktemskupieniazbioruA.Udo-
wodnić,że(wyłączającniejednoznacznościtypu0·(+∞),(+∞)·0)prawdziwe
sąnastępującenierówności
x→xo
lim
f(x)·lim
x→xo
g(x)≤lim
x→xo
(f(x)·g(x))≤lim
x→xo
f(x)·lim
x→xo
g(x)
≤lim
x→xo
(f(x)·g(x))≤lim
x→xo
f(x)·lim
x→xo
g(x).
Podaćprzykładyświadcząceotym,żepowyższenierównościmogąbyćostre.
1.4.10.Udowodnić,żejeślilim
x→xo
f(x)istnieje,to(wyłączającnieoznaczoności
typu+∞−∞,−∞+∞)
x→xo
lim
(f(x)+g(x))=lim
x→xo
f(x)+lim
x→xo
g(x),
x→xo
lim
(f(x)+g(x))=lim
x→xo
f(x)+lim
x→xo
g(x).
Ponadtojeślifigsąnieujemne,to(wyłączającnieoznaczonościtypu0·(+∞),
(+∞)·0)
x→xo
lim
(f(x)·g(x))=lim
x→xo
f(x)·lim
x→xo
g(x),
x→xo
lim
(f(x)·g(x))=lim
x→xo
f(x)·lim
x→xo
g(x).
