Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
18
ZADANIA•1.GRANICAICIĄGŁOŚĆFUNKCJI
1.4.11.Udowodnić,żejeślifjestfunkcjąciągłąwprzedziale(a,b)orazl=
x→a
lim
f(x),L=lim
x→a
f(x),todladowolnejliczbyλ∈[l,L]istniejeciąg{xn}
punktówprzedziału(a,b)zbieżnydoaitaki,żelim
n→∞
f(xn)=λ.
1.4.12.Znaleźćzbiórpunktów,wktórychfunkcjaf:R→Rokreślonawzorem
f(x)={
0,
sinx,
jeślixjestliczbąniewymierną,
jeślixjestliczbąwymierną
jestpółciągłazdołulubzgóry.
1.4.13.Zbadaćwjakichpunktachosirzeczywistejfunkcjaokreślonawzorem
f(x)={
x2−1,
0,
jeślixjestliczbąniewymierną,
jeślixjestliczbąwymierną
jestpółciągłazdołu,awjakichpółciągłazgóry.
1.4.14.Wykazać,żefunkcjaokreślonawzorem
f(x)=
(
'
{
'
L
0,
1
q
,
jeślixjestliczbąniewymiernąlubx=0,
jeślix=
p
q
,p∈Z,q∈N
orazp,qsąwzględniepierwsze
jestpółciągłazgóry.
1.4.15.Znaleźćwszystkiepunkty,wktórychfunkcjaokreślonawzorem
(a)f(x)=
(
'
{
'
L
|x|,
q+1
qx
,
jeślixjestliczbąniewymiernąlubx=0,
jeślix=
p
q
,p∈Z,q∈N
orazp,qsąwzględniepierwsze,
(
(−1)qp
,
jeślix∈Q∩(0,1]ix=
p
q
,p,q∈N
(b)f(x)=
'
{
'
L
0
q+1
orazp,qsąwzględniepierwsze,
dlapozostałychx∈(0,1]
niejestanipółciągłazdołu,anizgóry.
1.4.16.Niechf,g:A→Rbędąfunkcjamipółciągłymizdołu(zgóry)wpunkcie
xo∈A.Wykazać,że
(a)jeślia>0,toafjestfunkcjąpółciągłązdołu(zgóry)wpunkciexo,
natomiastjeślia<0,toafjestfunkcjąpółciągłązgóry(zdołu)wpunkciexo;
(b)f+gjestfunkcjąpółciągłązdołu(zgóry)wpunkciexo.
1.4.17.Niechfn:A→R,n∈N,będąfunkcjamipółciągłymizdołu(zgóry)
wpunkciexo∈A.Wykazać,żesup
(zgóry)wpunkciexo.
n∈N
fn(inf
n∈N
fn)jestfunkcjąpółciągłązdołu
