Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.5.CIĄGŁOŚĆJEDNOSTAJNAFUNKCJI
21
1.5.9.Funkcjafjestjednostajnieciągłana(0,∞).Czywynikastądistnienie
graniclim
x→o+
f(x)ilim
x→∞
f(x)?
1.5.10.Udowodnić,żefunkcjaograniczona,monotonicznaiciągłanadowolnym
przedzialeI⊂Rjestjednostajnieciągłanatymprzedziale.
1.5.11.Załóżmy,żefunkcjafjestjednostajnieciągłainieograniczonanaprze-
dziale[0,∞).Czywynikastąd,żealbolim
x→∞
f(x)=+∞,albolim
x→∞
f(x)=−∞?
1.5.12.Funkcjaf:[0,∞)→Rjestjednostajnieciągłaidlakażdegox≥0
prawdziwajestrównośćlim
n→∞
f(x+n)=0.Udowodnić,żelim
x→∞
f(x)=0.
1.5.13.Niechf:[1,∞)→Rbędziefunkcjąjednostajnieciągłą.Udowodnić,że
istniejetakieM∈R,żedlawszystkichx≥1prawdziwajestnierówność
|f(x)|
x
≤M.
1.5.14.Niechf:[0,∞)→Rbędziefunkcjąjednostajnieciągłą.Udowodnić,że
istniejetakieM>0,żedlawszystkichx≥0prawdziwajestnierówność
sup
{|f(x+u)−f(u)|}≤M(x+1).
u>o
1.5.15.Niechf:A→R,A⊂R,będziefunkcjąjednostajnieciągłąnaA.
Wykazać,żejeżeliciąg{xn}elementówzbioruAjestciągiemCauchy’ego,to
{f(xn)}jestteżciągiemCauchy’ego.
1.5.16.NiechA⊂Rbędziezbioremograniczonyminiechf:A→Rbędzie
funkcjąprzeprowadzającąkażdyciągCauchy’egoelementówzbioruAnaciąg
Cauchy’ego.Udowodnić,żefjestjednostajnieciągłanaA.Czyzałożenieogra-
niczonościzbioruAjestistotne?
1.5.17.Wykazać,żefunkcjafjestjednostajnieciągłanazbiorzeA⊂Rwtedy
itylkowtedy,gdydladowolnychciągów{xn}i{yn}elementówzbioruAspeł-
nionyjestwarunek
n→∞
lim
(xn−yn)=0=⇒
n→∞
lim
(f(xn)−f(yn))=0.
1.5.18.Niechf:(0,∞)→(0,∞)będziefunkcjąjednostajnieciągłą.Czywynika
stąd,że
x→∞
lim
f(x+
f(x)
x)
1
=1?
1.5.19.Niechf:R→Rbędziefunkcjąciągłąwzerzeitaką,żef(0)=0oraz,
żeistniejąx1,x2∈R,dlaktórych
f(x1+x2)≤f(x1)+f(x2).
Wykazać,żefjestfunkcjąjednostajnieciągłąnaR.
