Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
4
Zadania.1.Przestrzenielinioweiichpodzbiory
NiechAbędzieniepustympodzbioremprzestrzeniV.Punkte∈Anazywamy
punktemekstremalnymzbioruA,jeżeliimplikacja
e=(1−t)x+ty=⇒(e=x∨e=y)
jestspełnionadlakażdejliczbyrzeczywistejt∈[0j1]iwszystkichpunktówxjy∈A.
ZbiórwszystkichpunktówekstremalnychzbioruAoznaczamyprzezExt(A).
Mówimy,żezbiórA⊂Vjestzbalansowany(zrównoważony),jeżelitA⊂A
dladowolnegot∈Ktakiego,że|t|<1,natomiastjestpochłaniający,jeżelidla
każdegox∈Vistniejet>0takie,żex∈tA.
NiechTbędziezbioremniepustym.Układwektorów(bt)t∈TprzestrzeniV
nazywamybaząHamela,jeżelispełnianastępującewarunki:
(1)zbiórB={bt:t∈T}jestliniowoniezależny,
(2)zbiórBgenerujeprzestrzeńVjtzn.V=Lin(B).
Twierdzenie1.1([2],s.253).KażdaprzestrzeńliniowaV/={0}mabazę
Hamela.
Dowódtegotwierdzeniajestniekonstruktywny,gdyżopierasięnapewniku
wyboru.Uwagatadotyczywięctakżezadań,wktórychwykorzystujesiętotwier-
dzenie.
Twierdzenie1.2([2],s.253).NiechVbędzieprzestrzeniąliniowąnadciałem
K.JeżeliSjestliniowoniezależnymukłademwektorówzV,toistniejeukład
wektorówSozVtaki,żeS⊂SoiSojestbaząHamelaprzestrzeniV.
Twierdzenie1.3([1],s.59).Niech(bt)t∈Ti(b
′
t)t∈T′będąbazamiHamela
przestrzeniV.WtedyzbioryTiT′sąrównoliczne.
JeżeliprzestrzeńV/={0}maskończonąbazęHamela(b1jb2j...jbn),tolicz-
bęnnazywamywymiaremtejprzestrzeniipiszemydim(V)=n.Wprzeciw-
nymraziemówimy,żeVjestprzestrzeniąnieskończeniewymiarowąipiszemy
dim(V)=+∞.
NiechW⊂VbędziepodprzestrzeniąliniowąprzestrzeniV.Wymiarprze-
strzeniV/WnazywamykowymiarempodprzestrzeniWioznaczamysymbolem
codim(W).
NiechW1,W2będąpodprzestrzeniamiliniowymiprzestrzeniV.Podprzestrzeń
W=W1+W2nazywamysumąprostąpodprzestrzeniW1iW2,jeżeliW1∩W2=
{0}.PiszemywtedyW=W1⊕W2.
NiechViWbędąprzestrzeniamiliniowyminadciałemK.Liniowąbijekcję
f:V→WnazywamytakżeizomorfizmemalgebraicznymprzestrzeniVna
przestrzeńW.PrzestrzenieViWsąalgebraicznieizomorficzne,jeżeliistnieje
izomorfizmalgebraicznyprzestrzeniVnaW.
NiechXbędziedowolnymzbioremniepustym.SymbolemMap(XjK)ozna-
czamyprzestrzeńwszystkichfunkcjif:X→K(zob.zad.1.A.1),natomiast
B(X)oznaczaprzestrzeńwszystkichfunkcjiograniczonychf:X→K(zob.zad.
1.A.5).
