Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
20
2.Astronomiasferyczna
Rys.2.2.Bokamitrójkątasferycznegosątrzyłukikół
wielkich:AB,BCiAC.Odpowiadająimkątyśrodkowea,
bic
Kątwtrójkąciesferycznymmożnazdefiniować
jakokątpomiędzystycznymidoboków,przecina-
jącymisięwwierzchołkutrójkąta,bądźjakokąt
dwuściennypomiędzypłaszczyznamiprzecinają-
cymisferęwzdłużtychboków.Kątytrójkątasfe-
rycznegooznaczamydużymiliterami(A,B,C),zaś
ichprzeciwległeboki,aściślejodpowiadająceim
kątyśrodkowe,małymiliterami(a,b,c).
Sumakątówwtrójkąciesferycznymjestza-
wszewiększaod1800.Wielkość
(2.1)
zwanajestnadmiaremsferycznym.Jestswoistadla
każdegotrójkąta;niejeststała.Inaczejwięcniż
wgeometriipłaskiej,tuniewystarczyznaćdwóch
kątów,byobliczyćtrzeci.Poletrójkątasferycznego
wiążeznadmiaremsferycznymprostywzór:
Pole=Er2
[E]=rad
(2.2)
Tooznacza,żenadmiarsferycznyjestwyrażonym
wsteradianach(zob.dodatekA.1)kątembryłowym
zwierzchołkiemwśrodkusfery,obejmującym
trójkąt.
Abydowieśćrównania(2.2),przedłużmyboki
trójkątaΔ(rys.2.3),tworzącpełnekoławielkie.
UtworząonedrugitrójkątΔ!,przystającydoΔ,
leczleżącypoprzeciwnejstroniesfery.Jeślimiarę
kątaAwyrazimywradianach,topoleS(A)obszaru
ograniczonegojegoramionami(narys.2.3zacie-
niowanego)tooczywiście2A/2π=A/πpomnożone
przezpolesfery4πr2.Analogiczniepolaobszarów
S(B)iS(C)wstosunkudopolacałejsferystanowią
odpowiednioułamkiB/πiC/π.
Tetrzyobszaryłączniepokrywającałąsferę,
ztymżetrójkątyΔiΔ!należądokażdegoznich,
Rys.2.3.JeślibokitrójkątaΔprzedłużymynaokołosfery,
utworzymydrugitrójkątΔ!,przystającydoΔ,leczleżący
naprzeciwko.ZacieniowanyfragmenttoobszarS(A)
zaśwszystkiepunktyspozatychtrójkątówtylko
dojednego.AzatemsumaS(A),S(B)iS(C)topole
sferyplusczterokrotnośćpolatrójkątaΔ,
(Δ):
skąd
Takjakwprzypadkutrójkątówpłaskich,moż-
naznaleźćzwiązkipomiędzybokamiikątamitrój-
kątasferycznego.Najłatwiejtegodokonać,rozwa-
żającprzekształceniaukładówwspółrzędnych.
Przyjmijmydwaukładywspółrzędnych:xyz
orazx′y′z′(rys.2.4),którytworzymy,obracając
układxyzwokółosixokątχ.PołożeniepunktuPna
sferzeojednostkowympromieniujestjednoznacz-
nieokreśloneprzezdwakąty:kątψmierzymyna
płaszczyźniexy,oddodatniejczęściosixwkierun-
kuodwrotnymdoruchuwskazówekzegara;kątθ
toodległośćkątowaodpłaszczyznyxy.Taksamo
możemyzdefiniowaćkątyψ′iθ′,określającepozy-
cjępunktuPwukładziex′y′z′.Współrzędneprosto-
kątnepunktuPwfunkcjitychkątówsą:
(2.3)
Wiemyrównież,żewspółrzędnex′,y′,z′otrzy-
mujemyzx,y,zprzezobrótwpłaszczyźnieyz
(rys.2.5):
(2.4)
