Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.1.Wprowadzenie
27
...oznaczmyx
1,x
2,x
3,x
4,...Energiakinetycznawkartezjańskimukładziewspółrzędnych
mapostać
T
=
1
2
∑
3
i
=
N
1
mv
ii
2
=
1
2
∑
i
3
=
N
1
m
i
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
d
d
x
t
i
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
2
i
=
1
2
∑
3
i
=
N
1
mx
ii
-
2
(1.36)
Chcącwyeliminowaćczynnikiprzedpochodnymiiuprościćwyrażenienaenergię
kinetyczną,wprowadzamynowe,zmienionewspółrzędne(tzw.ważonemasowowspół-
rzędnekartezjańskie
q
i
)
q
i
=
()(
m
i
12
x
i
−
x
0
i
)
(1.37)
gdzie
x
0i
jestwspółrzędnąkartezjańskąrównowagowegopołożeniai-tegojądra,a
x
i
jestwspółrzędnąjądrawychylonegozpołożeniarównowagi.
Wtymnowymukładziewspółrzędnychrównanie(1.36)przybierapostać
T
=
1
2
∑
3
i
=
N
1
q
-
i
2
(1.38)
Dlamałychwychyleńzestanurównowagi,przyzałożeniużedrganiasąharmoniczne,
funkcjęV,opisującąenergiępotencjalną,wotoczeniupołożeniarównowagimożna
rozwinąćwszeregTaylora
V
=
V
q
i
=
0
+
∑
3
i
=
N
1
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
∂
∂
V
q
i
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
q
i
=
0
q
i
+
1
2
∑∑
i
3
=
N
1
3
j
=
N
1
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
∂∂
∂
qq
i
2
V
j
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
q
i
=
09
q
j
=
0
qq
i
j
+
iii
(1.39)
co,przyzałożeniuoharmonicznościpotencjału,pozwalazaniedbaćczłonywyższych
rzędów.Gdyprzyjmiemydodatkowoże,
V
q
i
=
0
=
0
wpołożeniurównowagi,tzn.gdy
(
∂
V
/
∂
q
iq
)
i
=
0
=
0
,wtedy
V
=
1
2
∑∑
i
3
=
N
1
3
j
=
N
1
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
∂∂
∂
qq
i
2
V
j
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
q
i
=
09
q
j
=
0
qq
i
j
(1.40)
Wprowadzamynoweoznaczenienadrugiepochodneenergiipotencjalnejpo
odpowiednichwspółrzędnych
κ
ij
=
(
mm
i
j
)
−
12
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
∂∂
∂
qq
i
2
V
j
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
(1.41)
Korzystajączrównań(1.38)i(1.40),możemynapisaćklasycznerównanieruchu
Lagrange7awnowychwspółrzędnych
q
--
i
+
∑κ
j
3
=
N
1
ij
q
j
=
0;
i
=
1929iii93
N
(1.42)
Poszukiwanymrozwiązaniemtegoukładujednorodnychrównańróżniczkowych
drugiegorzędujestfunkcjaopisującadrganiaharmoniczne,wpostaci
