Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
28
1.Badaniewidmoscylacyjnychzwiązkóworganicznych
qt
i
()
=
L
i
cos(
λ
t
+
φ
)
(1.43)
przyczym
λ
=
2π
u
=
ω
,L
ijestamplitudą,aφfazą.Zarównoamplituda,jakifaza
sąnieznane.Podstawiającrównanie(1.43)dorównaniaruchu(1.42),zamieniamy3N
równańróżniczkowychna3NrównańalgebraicznychwzględemzmiennychL
i
−
λ
L
i
cos
(
λ
t
+
φ
)
+
∑
N
κ
ij
L
j
cos
(
λ
t
+
φ
j
)
=
0
j
=
1
i11,2,...,3N
(1.44)
Układrównań(1.44)manietrywialnerozwiązanietylkowprzypadku,gdyjegowy-
znacznikjestrównyzeru.Stądotrzymujemywartościwłasneλ
k.Przezpodstawienie
każdegopierwiastkaλ
kdorównańmożemyznaleźćwspółczynnikiamplitudL
ik.Zatem
rozwiązanierównańróżniczkowychmapostać
qt
i
()
=
LA
ik
k
cos
(
λ
k
t
+
φ
k
)
i
=
1929iii93
N
(1.45)
Stądogólnymrozwiązaniemukładurównań(1.45)jestsumawszystkich3Nrozwiązań
ogólnych
qt
i
()
=
∑
3
N
LA
ik
k
cos
(
λ
k
t
+
φ
k
)
=
∑
3
N
LQt
ki
k
()
i
=
1929iii93
N
(1.46)
k
=
1
k
=
1
gdzie
Qt
k
()
=
A
k
cos
(
λ
k
t
+
φ
k
)
oznaczająwspółrzędnenormalne.Ponieważwyzna-
czanesątylkostosunkiL
ik,wprowadzasięstałeA
k.Zatemkażdazewspółrzędnych
q
k
jestsuperpozycjądrgańnormalnych
QQ
1
9
2
9iii9
Q
3
N
.Współczynniki
L
ik
sąważonymi
masowowspółczynnikamiqprzejściamiędzyukłademwspółrzędnychnormalnychQ
aukłademkartezjańskim.Tazmianawspółrzędnychpozwalauzyskaćdiagonalną
postaćmacierzyenergiipotencjalnej.Równanieruchucząsteczkizapisanewewspół-
rzędnych
q
możnarozłożyćna3NrównańniezależnychwewspółrzędnychQ.Wkon-
sekwencjitego,energiępotencjalnąmożnaprzedstawićwpostaciformykwadratowej,
acałkowitaenergiajestsumądwóchwkładów:energiikinetycznejruchuienergii
potencjalnej
E
=
T
+
V
=
1
2
3
∑
i
n
=
−
1
6
Q
i
2
+
1
2
3
∑
i
n
=
−
1
6
λ
i
Q
i
2
(1.47)
Rozwiązania
Q
i
opisująprostyruchharmoniczny,którynazywamydrganiem
normalnym.Jakmożnazauważyć,TiUsąformamikwadratowymi.Drganianormal-
nesąwzajemnieortogonalne,czyliwzajemnieniezależne.Wzbudzeniedrganianor-
malnegowcząsteczcewyzwalawniejdrganiawszystkichjąderztąsamączęstością
kołową
λ
iztąsamąfazą
φ
,leczzróżnymiamplitudami.Drganienormalnejest
toharmonicznedrganie(opewnejczęstości)wszystkichatomówcząsteczkidookoła
ichpołożeńrównowagiztąsamąfaządlakażdegoatomu(cooznacza,żeatomy
osiągająmaksymalnewychyleniewtymsamymczasie)[4].Całyruchdrgającyczą-
steczkijestzłożeniemwszystkichdrgańnormalnych.
