Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
10
1.Logikaizbiory
zprawdziwościimplikacjiq⇒rotrzymujemy,żeqjestzdaniemfałszywym,gdyż
zdanierjestfałszywe.Otrzymanasprzeczność(zdanieqniemożebyćjednocześnie
fałszyweiprawdziwe)pokazuje,żeformułaprzechodniościimplikacjijesttautologią.
Przedstawionametodadowodzenianazywanajestmetodąniewprost.Polegaonana
przypuszczeniu,żedanezdanie(prawo)jestnieprawdziweiotrzymaniusprzeczności
(zprzyjętymizałożeniami).
2)PrawodeMorgana.Tworzymytabelęwszystkichmożliwychukładówwartościlogicz-
nychzdańpiq.
p
q
p∧q
¬(p∧q)
¬p
¬q
¬p∨¬q
¬(p∧q)⇔(¬p∨¬q)
0
0
1
1
0
1
0
1
0
0
0
1
1
1
1
0
1
1
0
0
1
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
1
Ponieważwostatniejkolumniewystępująjedyniewartości1,więcwartośćlogiczna
całegozdania,przydowolnychwartościachlogicznychzdańpiq,jestrówna1.Stąd
jesttotautologia.DrugieprawodeMorganadowodzimyanalogicznie.
3)Prawozaprzeczeniaimplikacji.Udowodnimytoprawonapodstawiepraweliminacji
implikacji,deMorganaipodwójnegozaprzeczenia.Mamy
¬(p⇒q)⇔¬(¬p∨q)⇔(¬(¬p)∧¬q)⇔(p∧¬q).
4)Praworozdzielnościkoniunkcjiwzględemalternatywy.Ponieważwdowodzonympra-
wiewystępujątrzyzmiennep,q,rreprezentującezdania,więctabelazawiera8ukła-
dówwartościlogicznychtychzdań.
p
q
r
q∨rL:p∧(q∨r)p∧q
p∧rP:(p∧q)∨(p∧r)L⇔P
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0
0
0
0
0
1
1
1
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Π
1.3.Kwantyfikatory
NiechXbędziepewnymzbiorem.Wyrażenief(x),którestajesięzdaniem,jeśli
wmiejscezmiennejxwstawimyelementzbioruX,nazywamyfunkcjązdanio-
wą.ZbiórXnazywamywtedydziedzinąfunkcjizdaniowej.Jeślizdanief(x)jest
zdaniemprawdziwym,tomówimy,żeelementx∈Xspełniafunkcjęzdaniowąf.
