Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
14
1.1.Model
spot
aprecjacjikapitału
1.Arytmetykafinansowa
Nawstępiezajmiemysiębudowąmodeluopisującegoprocesprzyrostu(aprecjacji)
wartościkapitałuwczasie.Rozważaniarozpoczniemyodjednoznacznegowyróżnienia
przedziałuczasowego[0,T]analizykapitałowej.Przedmiotemnaszychdociekań
będzieinstrumentfinansowyowartościnominalnejCwmomenciet=0.Wartość
Cnazywaćbędziemywartościąpoczątkową.Przyjmujemytutajumowę,żenieujemne
wartościfinansoweodpowiadaćbędąprzychodom,należnościomlubpozostałym
aktywom,podczasgdyujemnewartościfinansoweopisywaćbędąwydatki,zobowią-
zanialubinnepasywa.WartościpoczątkowejCidowolnemumomentowitE[0,T]
przypisujemywartośćprzyszłąspots(C,t).Oznaczato,żewartośćprzyszłaspotjest
funkcją,którejdziedzinąjestiloczynkartezjańskiR×[0,T]={(c,t):cER,tE[0,T]}.
Podstawowewłasnościwartościprzyszłejspotopisujenastępującadefinicja.
DEFINICJA1010WartościąprzyszłąspotnazywamyfunkcjęR×[0,T]→R,któradla
dowolnychwartościpoczątkowychC
1,C
2ERimomentówt
1,t
2E[0,T]spełniawarunki:
s(C
1+C
2,t
1)=s(C
1,t
1)+s(C
2,t
1),
(t
2>t
1∧C
1>0)⇒s(C
1,t
2)уs(C
1,t
1),
s(C
1,0)=C
1.
(1.1)
(1.2)
(1.3)
Warunek(1.1)zakłada,żedowolniewyznaczanawartośćprzyszłaspotjestfunk-
cjąaddytywnąwartościpoczątkowej.Oznaczato,żewartośćprzyszłasumykapitału
jestrównasumiewartościprzyszłychkapitału.Warunek(1.2)informujenas,żewraz
zupływemczasuwartośćprzyszłaaktywówniemożezmaleć.Inaczejmówiąc,na
oszczędzaniuniemożnastracić.Warunek(1.3)identyfikujewartośćprzyszłąspot
przypisanąbieżącejchwilizwartościąpoczątkową.
TWIERDZENIE1010Warunki(1.1)–(1.3)sąwarunkamidostatecznymiikoniecznymido
tego,bywartośćprzyszłaspots:R×[0,T]→Rspełniałatożsamość
s(C,t)=C
ς
(t),
(1.4)
gdzieczynnikaprecjacji
ς
:[0,T]→[1,+∞]jestniemalejącąfunkcjąspełniającąwarunek
ς
(0)=1.
(1.5)
Dowód.Zrównań(1.2)i(1.3)dladowolnejpary(C,t)ER+×[0,T]otrzymujemy
s(C,t)уs(C,0)=C>0.
Stąd,jeśliC
1>C
2,tozewzoru(1.1)dladowolnegoustalonegotE[0,T]mamy
s(C
1,t)=s(C
1-C
2,t)+s(C
2,t)>s(C
2,t).
Ostatnianierównośćwrazzrównaniem(1.1)dowodzą,żefunkcjas(⋅,t):R→Rjest
addytywnąfunkcjąmonotoniczną.ZgodniezlematemA(patrzdodatekA)dla
dowolnejpary(C,t)ER×[0,T]mamy
