Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.4.Oprocentowaniezłożone
ept=lim
(1-p∆t)-t͞∆tуlim
(1-p∆t)-entier(t͞∆t)-1
∆t→0+
∆t→0+
=lim
ς
∗(ti∆t,p)уlim
(1-p∆t)t͞∆t-1=ept,
∆t→0+
∆t→0+
corazemz(∗)daje(1.81).
35
DEFINICJA10110Wartościąkapitalizowanąciąglenazywamyfunkcjęso(⋅,⋅ip):R×
[0,T]→Rdanązapomocątożsamości
so(C,tip)=lim
∆t→0+
s
∗(C,ti∆t,p).
(1.82)
TWIERDZENIE10250Wartośćkapitalizowanaciągleso(⋅,⋅ip):R×[0,T]→Rjestwartością
przyszłą,wyznaczonązależnością
so(C,tip)=Cept=C
ς
o(tip).
(1.83)
Dowód.Zależność(1.83)jestbezpośredniąkonsekwencjązależności(1.78)i(1.81).
Własnościformalnefunkcji(1.83)wrazztwierdzeniem1.1dowodzą,żewartość
kapitalizowanaciąglejestwartościąprzyszłą.
Korzystającztwierdzenia1.13,łatwomożnawykazać,żewyjściowawartość
forward,wyznaczonazapomocąwartościkapitalizowanejciągleizależności(1.30),
jestciągła.
Przykład10140Rozważmyjeszczerazregularnąstrukturęterminowąstopynominal-
nej,podanąwprzykładzie1.10.Opisujeonam.in.stałąwartośćstopynominalnej
p=0,1.Wartośćkapitalizowanaciąglejestwtedydanazapomocązależności
so(C,ti0,10)=Ce0,1t=C⋅1,10517t.
Rozważmyterazmodele,,naturalnego,,tempaaprecjacjikapitału,wyznaczonego
przezregularnąstrukturęterminowąforwardΦ={([(i-1)∆t,i∆t[,q)}n
i=1.Dzięki
prowadzonymdotejporyrozważaniom,mamytutajszeregwniosków.
TWIERDZENIE10260Wartośćkapitalizowanazdołus
∗(⋅,⋅i∆t,p):R×[0,T]→Rspełnia
warunek(1.37)wtedyitylkowtedy,gdystopyforwardqinominalnaspełniająwarunek
p=q.
(1.84)
Wówczaswartośćkapitalizowanazdołus
∗(⋅,⋅i∆t,p):R×[0,T]→Rjestopisanazależ-
nością
s
∗(C,tii∆t,q)=s
∗(C,ti∆t,p)
=
{
C(1+q∆t)i
C(1+q∆t)n
dla
dla
tE[i∆t,(i+1)∆t[,i=0,1,2,...,n-1,
t=n∆t=T.
Dowód.Bezpośrednioztwierdzeń1.20i1.23.
